人教A版高中数学(必修第二册)导学案6.4.3余弦定理、正弦定理（第2课时）（解析版）.docVIP

《6.4.3余弦定理、正弦定理》

第2课时正弦定理

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题1】eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.

【问题2】在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

（二）正弦定理

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。

拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.

2.正弦定理的变形形式

设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：

(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).

(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).

【思考1】实现三角形中边角关系的互化.

【思考2】不对.根据正弦定理，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

【做一做】1.D2.A3.2eq\r(3)

（三）典型例题

【例1】解根据正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).

又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).

【巩固练习1】解因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，

由正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)，故所求的最短边长为eq\f(\r(6),3).

【例2】解由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，

∵ba，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；

当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).

故当A＝60°时，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).

【巩固练习2】解由正弦定理，得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(3),2)，

又ca，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)－1.

【例3】解由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).

∵bsinB＝csinC，∴b·eq\f(b,2R)＝c·eq\f(c,2R)，∴b2＝c2，∴b＝c.

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(eq\f(a,2R))2＝(eq\f(b,2R))2＋(eq\f(c,2R))2，

∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，

∴△ABC为等腰直角三角形．

【巩固练习3】解析(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f