人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.1基本立体图形（第1课时）（解析版）.docVIP

《8.1基本立体图形》

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题1】围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形．

【问题2】围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．

（二）空间几何体

1.空间几何体

(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．

类别

定义

图示

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

旋转体

一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴

（三）棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.棱柱的结构特征

(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

（2）分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…

（3）图形及记法：

记作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′

（4）特殊的棱柱：

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱

【做一做】解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足.

答案：D

2.棱锥的结构特征

（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

（2）分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……

（3）图形及记法：

记作：棱锥S-ABCD

（4）特殊的棱锥：

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥。

正四面体：四个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

【思考】围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体.

【做一做】解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．

答案：Ｃ

3.棱台的结构特征

（1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点。

（2）分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……

（3）图形及记法：

记作：棱台ABCD－A′B′C′D′

【思考】因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.

【做一做】解析：A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．

答案：C

【做一做】解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方.

答案1∶4

4.棱柱、棱台、棱锥关系图

（四）典型例题

【例1】解析选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.

答案D

【巩固练习1】解析A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.

答案D

例2.解析(1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.

(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.

答案(1)A(2)B

【巩固练习2】解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

答案①②

【例3】解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平