人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.6.1直线与直线垂直（原卷版）.docVIP

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《8.6.1直线与直线垂直》

导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第八章立体几何初步

8.6空间直线、平面的垂直

学习目标：

会利用基本事实4，判断空间两直线的平行关系，培养直观想象的核心素养；

2.能用等角定理解决一些简单的相关问题，培养逻辑推理的核心素养。

学习重难点：

1.理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角，培养数学运算的核心素养；

2.掌握证明两条异面直线垂直的方法，提升逻辑推理的核心素养。

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

异面直线：

空间直线与直线的位置关系：

预习——

异面直线所成的角：

直线垂直：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

观察下面两个图形.

【问题】(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？

(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？

（二）直线与直线垂直

知识点一异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.

知识点二直线与直线垂直

与平面内两直线垂直的概念是一致的、统一的，可以看作是平面内直线垂直的推广

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.

【思考1】直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?

【思考2】两条直线垂直，一定相交吗？

【做一做】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)AC和DD1所成的角是________；

(2)AC和D1C1所成的角是________；

(3)AC和B1D1所成的角是________；

(4)AC和A1B所成的角是________.

（三）典型例题

1.求异面直线所成的角

例1.在正四面体中，，E，F分别为SC?AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【类题通法】求两条异面直线所成的角的一般步骤

(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.

(2)计算角：求角度，常利用三角形.

(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

【巩固练习1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.

2.证明直线与直线垂直

例2.如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

【类题通法】证明两条异面直线垂直的步骤：

(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．

(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．

(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．

(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．

【巩固练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.

求证：AC⊥BD.

（四）操作演练素养提升

1.设a，b，c是直线，则()

A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c

B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c

C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等

D.若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线

2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()

A．45°B．60°C．90° D．120°

3.在正方体中，则直线与直线所成角大小为（）

A． B． C． D．

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是．

课堂小结