2025届新高考解答题精选：定义型问题（原卷版）.docx

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专题7定义型问题

题组一与集合有关的定义型问题

1-1、（2025届江西九校高三联考期中数学试题）

对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合

（1）若，求；

（2）若集合A有n个元素，证明：的充要条件是集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列；

（3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素个数最少的集合A.

1-2、（江苏宿迁2025届高三年级上学期期中考试数学）

已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.

（1）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

（2）当时，若集合S具有性质P，那么集合否具有性质P？并说明理由；

（3）当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

1-3、（河北省沧州市运东五校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题）

已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.

（1）若，求及；

（2）若，求证：互不相同；

（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.

1-4、（2024届河北省名校联盟高三质量检测数学）

已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对．

（1）对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由．

（2）设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值．

（3）在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值．

题组二与数列有关的定义型问题

2-1、（福建名校联盟2025届高中毕业班上学期期中质量检测数学试题）

若有穷数列满足：①；②，则称为数列.

（1）已知是数列，写出的所有可能值；

（2）已知是数列，对任意给定的，将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列.

（i）证明：当时，是等差数列；

（ii）求中所有项的和.

2-2、（盐城市2025届高三年级第一学期期中考试）

若有穷数列且满足，则称为M数列．

（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；

①1，2，4，3．

②4，2，8，1．

（2）已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；

（3）已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．

2-3、（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年秋季高三年期中联考）

若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”．

（1）判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由；

（2）若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；

（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：．

2-4、（广东省广州市铁一中学2024-2025学年第一学期期中三校联考高三数学）

若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质．

（1）若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值；

（2）若等差数列具有性质，且，求的取值范围；

（3）已知无穷数列同时具有性质和性质，，且不是数列的项，求数列的通项公式．

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2-5、（河北省邯郸市2024－2025学年第一学期期中考试名校联考高三数学）

定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有“性质3”.已知项数为n的数列的所有项的和为，且数列具有“性质3”.

（1）若，且，，写出所有可能的的值；

（2）若，，证明：“”是“”的充要条件；

（3）若，，，证明：或，（）.

2-6、（河北省邢台市2024—2025学年高三（上）质检联盟期中考试数学）

已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”．

（1）若，判断数列是否为“封闭数列”；

（2）已知递增数列为“封闭数列”，求；

（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列．

2-7、（河北省部分名校大联考2024—2025数学）

设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.

（1）若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；

（2）若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；

（3）若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.

2-8、（江苏南京一中2024年高三上学期10月阶段性学情检测）

设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”.

（1）已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”