人教A版高中数学(必修第二册)同步讲与练第02讲 6.2.1向量的加法运算（解析版）.doc

第02讲6.2.1向量的加法运算

课程标准

学习目标

①理解并掌握向量加法的概念。

②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。

③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。

1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同；

2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算；

3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；

知识点01：向量的加法

（1）向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.

（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）

已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）

已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

??

【答案】详见解析

【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，

则，再作，则，即.

??

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，

如下图所示，在平面内任取一点O，作，，

以，为邻边作平行四边形，则对角线，

再作，以，为邻边作平行四边形，则.

??

（4）多个向量相加

已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.

知识点02：向量加法的运算律

（1）交换律

（2）结合律

题型01求向量的和

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．

(1)??(2)??(3)??

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【详解】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.

??

（2）解：作，，，则即为所求作的向量.

??

（3）解：作，，，则即为所求作的向量.

??????

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中，.

【答案】

【详解】将平移到，平移到，

故.

故答案为:.

【典例3】（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．

(1)以A为始点，作出；

(2)以B为始点，作出；

(3)若图表中小正方形边长为1，求、．

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

(3)，

【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：

（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：

（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，

；???????????????????????????????????

由共线向量的加法运算可知.

【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）填空：

（1）；

【答案】

【详解】（1）；

故答案为：（1）；

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．

(1)????(2)??

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，

则即为所求作的向量.

????

（2）解：作，，以、为邻边作，，

则即为所求作的向量.

??

【变式3】（2022·高一课前预习）如图，已知，求作.

(1)(2)

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示

作则.

（2）在平面内任取一点，如图所示

作则.

题型02向量的加法运算

【典例1】（2022下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】.

故选：B

【典例2】（2022·高一课时练习）已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是.(填序号)

【答案】①④/④①

【详解】①;

②;

③;

④.

故答案为：①④.

【变式1】（2022下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（????）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【详解】连接OB.

由正六边形的性