数学物理方法第七章.pptVIP

第二篇数学物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程——牛顿

第七章数学物理方程定解问题7.2定解条件7.3数学物理方程的分类§7.1三类数学物理方程的导出7.4达朗贝尔公式、定解问题

数学物理思想数学物理方程:〔简称数理方程〕是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.

多数为二阶线性偏微分方程振动与波〔振动波，电磁波〕传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程:物理规律的数学表示物理规律物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言翻译数理方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。------泛定方程

三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程

定解条件：边界条件、初始条件表达边界状态的数学方程称为边界条件边界问题---边界条件历史问题----初始条件表达历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。

7定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。---------数学物理定解问题，简称定解问题

具体的问题的求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律2、根据系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须用的3、求解方法——行波法、别离变量法、等别离变量法三类数学物理方程的一种最常用解法

梯度矢量令数学补充

有时记记

7.1数学物理方程的导出步骤：1、明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近局部与它的相互作用。2、研究物理量遵循哪些物理规律？3、按物理定律写出数理方程〔泛定方程〕。

〔一〕均匀弦微小横振动方程弦的横振动设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动u(x,t):坐标为x的点在t时刻沿垂线方向的位移求：细弦上各点的振动规律12波动方程的导出

选取不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长dx研究对象:(4)设单位长度上弦受力，力密度为：简化假设：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角?1和?2很小，仅考虑?1和?2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度?，u(x)u+?uu0?1xx+dxF

弦的原长：振动拉伸后：u(x)u+?uu0?1?2T2T1xx+dxBF弦长dx，质量线密度?，B段的质量为m=?dx

沿x-方向，不出现平移沿垂直于x-轴方向受力分析和牛顿运动定律：15在微小振动近似下：由〔1〕式，弦中各点的张力相等u(x)u+?uu0?1?2T2T1xx+?xBF〔1〕〔2〕

波动方程：振动在弦上传播的速度极：波速a受迫振动方程单位质量所受外力，力密度令牛顿运动定律：………一维波动方程

二、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段t时刻，B段两端的位移为t时刻，B段伸长相对伸长事实上，相对伸长是位置的函数，如

相对伸长由虎克定律，B两端的张应力〔单位横截面的力〕分别为B段运动方程为

B段运动方程为记

扩散方程扩散现象：系统的浓度u(x,y,z,t)不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。扩散的起源：浓度不均匀，不均匀程度用浓度梯来表示：扩散运动的强弱用扩散流强度来表示：扩散流强度，即单位时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度u(单位体积内的粒子数〕的下降成正比D为扩散系数负号表扩散方向与浓度梯度相反

x方向左外表，dt时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为净流入量：

y方向净流入量为z方向净流入量为立方体净流入量为

如立方体内无源和汇dt时间内粒子增加数为

D=恒量，令a2=D一维扩散方程三维扩散方程

26如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z)，即单位时间内单位体积中产生的粒子数为F(