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第二章随机变量及其分布

§2.1随机变量

一、概念

对于随机试验：

E

甲,乙两人同时向某目标射击一次

中靶情况

AB,AB,

AB,AB

E:S={AB,AB,AB,AB}，X表示射击中靶的次数，

对应的取值为；0，1，2。

定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。

二、分类

1、离散型随机变量

2、非离散型随机变量

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§2.2离散型随机变量

一.离散型随机变量的分布

设离散型随机变量可能取的值为:x1,x2,……,

取这些值的概率为

P(X=xi)=pi,i=1,2,...(2.1)

称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:

X

x1

x2

ix

i

P

p1

p2

pi

上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布

列也可以表示成下列矩阵的形式：

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

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根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质

（1）pi≥0,i=1,2,...

（2）pi=1

常见的几种分布

1、单点分布

例:若随机变量X只取一个常数值C，即

P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分

布。）

2、0-1分布

例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其

分布为

X

0

1

P

q

p

0p1,q=1-p，或记为P(X=k)=pkq1-k,k=0,1

则称X服从参数为p的两点分布或参数为p的

0-1分布。

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3、几何分布

例:一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X是一个离散型随机变量，其分布为

X

1

2

3

k

P

p

qp

2

qp

qk-1p

或记为

P(X=k)=qk-1p,k=1,2,...

则称X服从参数为p的几何分布。

4、超几何分布

例:设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定n≤N-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为

,m=0,1…,k,k=min

则称X服从超几何分布。

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(二）二项分布

在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X

是一个离散型随机变量，其分布为

P(X=k)=Cpkqn-k,k=0,1,2,…,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。

例2:P39.

例3:P40.

在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？

泊松分布

1．定义若离散型随机变量X的分布为

k=0,1,2,…其中常数λ0，

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则称X服从参数为λ的泊松分布,记为

X~π(λ)。

2．泊松Poisson定理P41,设有一列二项分

布Xn～B(n,pn),n=1,2,...,如果-npn=λ,λ为与n无关的正常数，则对

任意固定的非负整数k，均有

证略。

例5:P43.

例6:P44,自学。

§2.3随机变量的分布函数

一、概念

定义2.1设X是一随机变量（不论是离散型还

是非离散型），对任意的实数x,令

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F(x)=P(X≤x)(2.11)则称F（x）为X的分布函数。

例1:（书上例2.8）设X服从参数为p的

（0-1）分布，即：P(X=k)=pkq1-k,k=0,1,其中0p1,q=1-p.求X的分布函数F(x).

例:设R.V.X的分布函数为

〔0x-1

l1x≥3

求X的概率分布。

二、性质

性质1若x1x2,则F(x1)≤F(x2).即F(x)是x的单调不减函数。

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性质2对任意的实数x，均有

0≤F(x)≤1且

-∞F(x)=0F(x)=1

性质3对任意的实数x0,有

即F(x)在x轴上处处右连续。证明见P-44.

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

性质4若F(x