专题16 圆锥曲线的综合应用（十大题型7大易错题）（题型 易错）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）（解析版）.docx

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专题16圆锥曲线的综合应用（十大题型7大易错题）

【题型1直线与椭圆的位置关系判断】

1．若直线ax+by?1=0与圆O:x2+y2=1相离，则过点

A．0或1 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】由直线与圆相离得a2+b21

【详解】由题意直线ax+by?1=0与圆O:x2+y2

而b26+a2

所以过点Pa,b的直线与椭圆y

故选：D.

2．直线3x?2y+6=0与曲线y29?

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】考虑x≥0和x0两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案.

【详解】当x≥0时，曲线y29?

一条渐近线方程为：y=3

当x0时，曲线y29?

画出曲线和直线的图像，如图所示：

??

根据图像知有2个公共点.

故选：B

3．若直线mx?ny=4与⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点Pm,n、

A．至多为1 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】由直线与圆相离得到P点位置后判断.

【详解】直线mx?ny=4与⊙O：x2

所以直线mx?ny=4与⊙O：x2

所以|?4|m2+

故点Pm,n

m29+

而易知Q0

所以过点Pm,n、Q

故选：B

4．直线y=kx+1?k与椭圆x29+

【答案】2

【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数．

【详解】直线y=kx+1?k恒过(1,1)，

由于19+1

所以直线与椭圆恒有2个交点．

故答案为：2．

【题型2根据直线与椭圆位置关系求参】

5．设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab0的弦AB与x轴，y轴分别交于

A．0,22 B．22,1 C．

【答案】C

【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,0),D(0,

【详解】如图所示，设A(x

直线AB:y=kx+b，

因为AC:CD:

所以2(x

即x1=3x0

因为A,B在椭圆上，所以9x

两式相减得5x02

又因为kAB=2y0

所以0b2a

所以0k

故选：C.

6．点M是椭圆x2a2+y2b2=1ab0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆

A．2?3,1

C．6?22

【答案】D

【分析】根据MF⊥x轴可设Mc,y，代入椭圆方程可求得圆M的半径，根据△PMQ为锐角三角形，可构造关于a,c的齐次不等式，进而配凑出离心率e

【详解】∵圆M与x轴相切于焦点F，∴MF⊥x轴，可设Mc,y

∵M在椭圆上，∴c2a2+y2b2

作MN⊥y轴，垂足为N，

∵MP=MQ

∵△PMQ为锐角三角形，∴∠NMQπ4，

∴aca2?c2

即椭圆离心率的取值范围为6?

故选：D.

7．已知椭圆C:x25+y2=1，点M0,1关于直线l:y=x+t的对称点N在C上，且点

A．?13 B．?12 C．

【答案】C

【分析】设N(x0，y0)，由题意可得MN的斜率为?1，由两点的斜率公式可得x0，y0的一个关系式，由M，N的中点在直线方程上，从而可得

【详解】不妨设N(x0,

由题意可得y0?1x

又MN的中点x02,

所以1+y02=x

而N在椭圆C上．故(1?t)25+t2

由于t=1时N与M坐标相同，故t=?2

故选：C．

??

8．已知直线kx+y+2k=0与椭圆x23+y2

A．2 B．12 C．±2 D．

【答案】C

【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到Δ=0

【详解】依题意，联立x23+

化解得(4+3k

因为直线kx+y+2k=0与椭圆x2

所以Δ=

化简整理得k2?4=0，所以

故选：C.

【题型3直线与椭圆相切的应用】

9．已知圆C1:x?32+y2=r2(0r4)与圆

A．x2+y2

C．x2+y2

【答案】A

【分析】设两圆交点为Nx,y，根据椭圆的定义求出轨迹M的方程，设点Px0,y0，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为：y?y0=kx?x

【详解】圆C1:x?

圆C2:x+

设两圆交点为Nx,y，则由题意知NC1=r，

又由于C1C2=23，所以由椭圆定义知，交点N

且c=3，a=2，则b=a2?c

??

设点Px0,y0

联立y?y0=kx?x

则Δ=64

即4?x02k2+2x

??

当切线斜率不存在或为0时，点P的坐标为2,1，?2,1，?2,?1，2,?1，满足方程x0

故所求轨迹方程为x2

故选：A．

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由椭圆的定义求出轨迹M的方程，再分切线的斜率存在且不为零和不存在或为零两种情况讨论，根据Δ=0，利用韦达定理及k

10．已知椭圆M:x2a2+y2=1，圆C:x2+y2=6?a2在第一象限有公共点

A．(1,6) B．(1,5) C．(3,6) D．(3,5)

【答案】D

【分析】结合两个曲