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随机变量及其分布

一、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，则称以下表格

X

x1

x2

…

…

P

p1

p2

…

…

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

常见的两种分布：

1．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

0

1

P

1

p

则称X服从两点分布，并称为成功概率.

2．超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件发生的概率为：

则随机变量X的概率分布列如下：

X

0

1

…

m

P

…

。

注：超几何分布的模型是不放回抽样

二、条件概率

一般地，设为两个事件,且,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

三、相互独立事件

设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A及事件B相互独立。

一般地，如果事件A12,…两两相互独立，则这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.

注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；

相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.

四、n次独立重复试验

一般地，在一样条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果〞，显然，

“一样条件下〞等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响

注:独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进展；

第二：各次试验中的事件是相互独立的；

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

五、二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

X

0

1

…

k

…

n

P

…

…

此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.

六、离散随机变量的均值〔数学期望〕

一般地，随机变量X的概率分布列为

X

x1

x2

…

…

P

p1

p2

…

…

则称

.

1．假设，其中a，b为常数，则Y也是变量

Y

…

…

P

p1

p2

…

…

则，即

2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，则

即假设X服从两点分布，则

假设，则

七、离散型随机变量取值的方差和标准差

一般地,假设离散型随机变量x的概率分布列为

X

x1

x2

…

…

P

p1

p2

…

…

1．假设X服从两点分布，则

2．假设，则

3．

正态分布

1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．

μ为正态分布的均值；

σ是正态分布的标准差

2．结合正态曲线，归纳其以下性质：

(1)曲线在x轴的上方，及x轴不相交．

(2)曲线关于直线x＝μ对称．

(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．

(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．

σ越大，曲线越“矮胖〞，总体分布越分散；

σ越小，曲线越“高〞，总体分布越集中；

3．3σ原则：

对于正态总体取值的概率：

练习：

1.正态分布有两个参数及，()相应的正态曲线的形状越扁平。

A．越大B．越小C．越大D．越小

2．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，则考试成绩在区间内的概率是

A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974

3．假设x～N(0,1),求P(x2).P(x-1)．