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保定统考高一数学试卷

一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列结论错误的是（）

A.$a0$

B.$b=-2a$

C.$c=1$

D.$f(1)=2$

2.若复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$满足$|z+1|=|z-1|$，则$z$在复平面上的对应点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，首项为$a_1$，则$S_{2n}-S_n$等于（）

A.$na_1$

B.$n^2a_1$

C.$nd$

D.$n^2d$

4.下列函数中，有最小值的是（）

A.$y=x^2-2x+1$

B.$y=-x^2+2x-1$

C.$y=x^2-4x+4$

D.$y=-x^2+4x-4$

5.已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则下列等式成立的是（）

A.$a_2=a_1q$

B.$a_3=a_1q^2$

C.$a_4=a_1q^3$

D.$a_5=a_1q^4$

6.下列方程的解集是空集的是（）

A.$x^2+1=0$

B.$x^2-1=0$

C.$x^2=2$

D.$x^2=4$

7.若函数$f(x)=x^2+2ax+a^2$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,0)$，则$a$的取值范围是（）

A.$a1$

B.$a\geq1$

C.$a1$

D.$a\leq1$

8.若复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$满足$|z+1|=|z-1|$，则$z$在复平面上的对应点到原点的距离是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.下列数列中，是等差数列的是（）

A.$\{1,4,7,10,13\}$

B.$\{1,3,5,7,9\}$

C.$\{1,2,3,4,5\}$

D.$\{2,4,6,8,10\}$

10.若函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列结论错误的是（）

A.$a0$

B.$b=-2a$

C.$c=1$

D.$f(1)=2$

二、判断题

1.在直角坐标系中，所有圆的方程都可以表示为$x^2+y^2=r^2$的形式，其中$r$为圆的半径。（）

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

3.对于任意实数$a$，函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象都是抛物线。（）

4.等比数列$\{a_n\}$的公比$q$满足$q\neq1$时，数列$\{a_n\}$是递增数列。（）

5.在复平面上，任意两个复数$z_1$和$z_2$的乘积$z_1z_2$对应的点一定位于原点。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=3x^2-12x+9$的图象开口向上，且顶点坐标为$(2,-3)$，则该函数的系数$a$、$b$、$c$的值分别为______、______、______。

2.在复平面上，若复数$z$的模为$\sqrt{5}$，且它的实部为$2$，则$z$的虚部为______。

3.等差数列$\{a_n\}$的前$5$项和为$15$，公差为$2$，则该数列的首项$a_1$为______。

4.函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定义域为______。

5.若等比数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公比为$-\frac{1}{2}$，则第$4$项$a_4$的值为______。

四、简答题

1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象与$x$轴的交点个数取决于哪些因素，并说明如何确定这些交点的坐标。

2.如何根据等差数列的首项和公差求出第$n$项以及前$n$项和的表达式？

3.举例说明函数的奇偶性，并解释如何判断一个函数的奇偶性。

4.简述复数的定义，以及复数在复平面上的几何意义。

5.请解释函数的周期性，并举例说明如何判断一个函数是否具有周期性。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=2x^2-4x+3$在$x=1$时的导数。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$6$项和为$42$，第$4$项为$11$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

3.求函数$f(x)=\sqrt{x^2+4}$在区间$[-4,4]$上的最大值和最小值。

4.已知复数$z=3+4i$，求$z$的共轭复数$\bar{z}$，并计算$|z|$的值。

5.求解不等式$x^2-5x+6