2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练五微专题1数列的基本运算.docVIP

专题强化练（五）微专题1数列的基本运算

[小题标准练]

1．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(C)

A．25 B．22

C．20 D．15

解析：方法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝eq\f(a8－a4,8－4)＝eq\f(9－5,4)＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d＝20.

方法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5，①由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d＝20.故选C.

2．(2024·济南模拟)已知{an}为正项等比数列，若lga2，lga2024是函数f(x)＝3x2－12x＋9的两个零点，则a1a2025＝(B)

A．10 B．104

C．108 D．1012

解析：因为lga2，lga2024是f(x)＝3x2－12x＋9的两个零点，所以lga2＋lga2024＝4，所以lg(a2a2024)＝4，所以a2a2024＝104，故a1a2025＝104.

3．把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小的一份的面包个数为(B)

A．1 B．2

C．6 D．11

解析：设每人所得面包个数构成等差数列{an}，{an}的公差为d(d0)，则由题意，得a3＋a4＋a5＝3a4＝7(a1＋a2)，即3(a1＋3d)＝7(2a1＋d)，①又5a1＋eq\f(5×4,2)×d＝120，②

所以联立①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝11，))所以最小的一份的面包个数为2.故选B.

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，则下列结论正确的是(C)

A．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公差为eq\f(1,2)的等差数列

B．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公差为2的等差数列

C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是公比为eq\f(1,2)的等比数列

D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是公比为2的等比数列

解析：由an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋1,2an)＝eq\f(1,2an)＋eq\f(1,2)，则eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,2an)＋eq\f(1,2)－1，即eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,2)(eq\f(1,an)－1)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是以－eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列．

5．(2024·吉林一模)谢尔宾斯基三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形(如图1)，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形(如图2)，对剩下的三个小三角形继续以上操作(如图3)，按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1中三角形的边长为2，则图4中被挖去的三角形面积之和是(D)

A．eq\f(7\r(3),16) B．eq\f(9\r(3),16)

C．eq\f(27\r(3),64) D．eq\f(37\r(3),64)

解析：第一次操作挖掉的三角形边长为2×eq\f(1,2)＝1，共1个，面积为1×(eq\f(\r(3),4)×12)＝eq\f(\r(3),4)；

第二次操作挖掉的三角形边长为1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，共3个，面积为3×[eq\f(\r(3),4)×(eq\f(1,2))2]＝eq\f(3\r(3),16)；

第三次操作挖掉的三角形边长为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)