2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十微专题2立体几何中的证明与计算.docVIP

专题强化练（十）微专题2立体几何中的证明与计算

1.如图，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高线CD上．AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.

(1)证明：∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；

(2)当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB.

证明：(1)由题意及题图知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，

因为AB?平面ABC，所以VN⊥AB.

又因为CD∩VN＝N，CD，VN?平面VNC，所以AB⊥平面VNC，

因为DM?平面VNC，

所以AB⊥DM，又AB⊥CD，所以∠MDC为二面角M-AB-C的平面角．

(2)由已知，∠MDC＝∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV＝∠MCD，所以△VNC∽△DMC，又因为∠VNC＝90°，所以∠DMC＝∠VNC＝90°，故有DM⊥VC，由(1)得AB⊥平面VNC，VC?平面VNC，所以AB⊥VC，

又AB∩DM＝D，AB，DM?平面AMB，所以VC⊥平面AMB.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，M为PB的中点．

(1)求证：EM∥平面PCD；

(2)若AP＝AD，AB＝eq\r(2)AD，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值．

解：(1)证明：如图，取PC的中点为F，连接MF，DF，

则MF∥BC∥DE，且MF＝eq\f(1,2)BC＝DE，

所以四边形DEMF是平行四边形，

所以DF∥EM，

因为DF?平面PCD，EM?平面PCD，

所以EM∥平面PCD.

(2)解：因为AD⊥平面PAB，PA，PB?平面PAB，所以AD⊥PA，AD⊥PB.以A为坐标原点，以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴，AB，AD所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．

设AD＝2，则AP＝2，AB＝2eq\r(2).

因为PA⊥PB，所以∠PAB＝45°.

所以P(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，B(0，2eq\r(2)，0)，E(0，0，1)，C(0，2eq\r(2)，2)，M(eq\f(\r(2),2)，eq\f(3\r(2),2)，0)，所以eq\o(EC,\s\up10(→))＝(0，2eq\r(2)，1)，eq\o(PC,\s\up10(→))＝(－eq\r(2)，eq\r(2)，2)，eq\o(EM,\s\up10(→))＝(eq\f(\r(2),2)，eq\f(3\r(2),2)，－1).

设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up10(→))＝0，,n·\o(EC,\s\up10(→))＝0，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x＋\r(2)y＋2z＝0，,2\r(2)y＋z＝0，))

不妨令y＝－1，得z＝2eq\r(2)，x＝3，所以n＝(3，－1，2eq\r(2))，

设直线EM与平面PCE所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈eq\o(EM,\s\up10(→))，n〉|＝eq\f(|\o(EM,\s\up10(→))·n|,|\o(EM,\s\up10(→))||n|)＝eq\f(2\r(2),\r(6)×3\r(2))＝eq\f(\r(6),9)，

所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为eq\f(\r(6),9).

3.(2024·佛山二模)如图，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D为上底面ABC内一点．

(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；

(2)若BC＝BB1＝1，AB＝2，∠A1B1C1＝eq\f(π,2)，E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离．

解：(1)连接BD，在平面ABC上作l⊥BD，

因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因为l?平面ABC，所以BB1⊥l，

因为BB1∩BD＝B，BB1，BD?平面BB1D，所以l⊥平面BB1D，

因为B1D?平面BB1D，所以l⊥B1D.

(2)因为∠A1B1C1＝eq\f(π,2)，

所以B1A1，B1C1，B1B两两互相垂直，以B1为原点，分别以B1A1，B1C1，B1B所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(0，0，1)，A(2，0，1)，E(1，0，0)，C1(0，1，0)，则eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2，0，0)，eq\o(EA,\s\up10(→))