2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练九微专题1立体几何初步.docVIP

专题强化练（九）微专题1立体几何初步

[小题标准练]

1．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，则该圆锥的表面积为(C)

A．8π B．12π

C．16π D．24π

解析：设圆锥的母线长为l＝6，底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πr＝eq\f(2πl,3)，解得r＝2，所以该圆锥的表面积为π×22＋π×2×6＝16π.

2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为(B)

A．3π B．eq\f(\r(3)π,3)

C．eq\r(3)π D．2π

解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长l＝2，则l2＝r2＋h2，底面周长为2πr＝eq\f(1,2)×(2π×2)，解得r＝1，所以h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以该圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).故选B.

3．(2024·西安模拟)如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是(A)

A．AB∥HG B．CG⊥BH

C．CG⊥DH D．AC∥DG

解析：如图所示，将展开图重新组合成正方体．显然AB∥HG，因此A选项正确；由图易得CG∥DH，显然DH与BH所成角非直角，因此异面直线CG与BH所成角也非直角，所以CG⊥BH不成立，因此B，C选项不正确；由图易得AC∥EG，显然EG与DG相交，因此AC∥DG不成立，因此D选项不正确．

4．(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为(A)

A．1 B．eq\r(3)

C．2 D．3

解析：如图，取棱AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故选A.

5．已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(B)

A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(6),4)

C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)

解析：如图1，△ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点为O，连接OC，以O为坐标原点，AB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．再建立一个平面直角坐标系x′O′y′，且使∠x′O′y′＝45°，如图2，在x′轴上取点A′，B′，且使O′A′＝O′B′＝1，在y′轴上取点C′，且使O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，连接A′C′，B′C′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，所以S△A′B′C′＝S△A′O′C′＋S△B′O′C′＝2S△B′O′C′＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)×2＝eq\f(\r(6),4).故选B.

6．如图，圆柱的底面直径AB与母线AD的长度相等，E是弧AB的中点，则异面直线AE与BD所成的角为(C)

A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)

解析：方法一：如图，记AB，CD的中点分别为O，O′，连接OO′，OE，以O为坐标原点，OE，OB，OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接BE.因为点E是弧AB的中点，所以△ABE是等腰直角三角形，OB＝OE，不妨设AB＝AD＝2，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，2)，E(1，0，0)，所以eq\o(AE,\s\up10(→))＝(1，1，0)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(0，－2，2)，|cos〈eq\o(AE,\s\up10(→))，eq\o(BD,\s\up10(→))〉|＝eq\f(|－2|,\r(2)×\r(8))＝eq\f(1,2)，所以异面直线AE与BD