第一次月考难点特训（1）与二次函数有关的压轴题（解析版）.pdf

第一次月考难点特训（一）与二次函数有关的压轴题

2

1．如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P

在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件

的点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，

连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，

−16+4+=0

∴，

−1−+=0

=3

解得：，

=4

2

则抛物线的解析式是y＝﹣x+3x+4；

（2）存在．

①当以C为直角顶点时，

过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，

11

过点P作y轴的垂线，垂足是M，如图1．

1

∵∠ACP＝90°，

1

∴∠MCP+∠ACO＝90°．

1

∵∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠MCP＝∠OAC．

1

∵OA＝OC＝4，

∴∠MCP＝∠OAC＝45°，

1

∴∠MCP＝∠MPC，

11

第1页共29页.

∴MC＝MP，

1

2

设P（m，﹣m+3m+4），

2

则m＝﹣m+3m+4﹣4，

解得：m＝0（舍去），m＝2．

12

∴m＝2，

2

此时﹣m+3m+4＝6，

∴P的坐标是（2，6）；

1

②当点A为直角顶点时，

过A作AP⊥AC交抛物线于点P，

22

过点P作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则PN∥x轴，

22

∵∠CAO＝45°，

∴∠OAP＝45°，

2

∴∠FPN＝45°，AO＝OF，

2

∴PN＝NF，

2

2

设P（n，﹣n+3n+4），

2

2

则﹣n+4＝﹣（﹣n+3n+4），

解得：n＝﹣2，n＝4（舍去），

12

∴n＝﹣2，

2

此时﹣n+3n+4＝﹣6，

∴P的坐标是（﹣2，﹣6）．

2

综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

3+173−17

（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．

22

解题过程如下：

连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．

根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．

由（