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高等代数五试卷及参考答案

一、填空题（每小题3分，共21分）

1.已知5级行列式，则-3.

2.设矩阵则＝，其中是矩阵的转置矩阵.

3.设矩阵，则

4.设n级矩阵满足，那么

5.设矩阵则＝.

6.已知非齐次线性方程组无解，那么-2.

7.设有二次型，那么是非正定二次型（选填“正定”和“非正定”）.

二、选择题（共5题，每题3分，共15分）

1、A2、B3、B4、C5、A6、B7、A8、C9、C10、D

三、计算题（）

1.（本题共6分）计算下列行列式：

(1)

解：

…2分

……4分

……6分

2.（本题8分）设矩阵，求的逆矩阵.

解：因为

……………2分

……………4分

……………5分

……………7分

可见，，故可逆，且。……………8分

3.（本题10分）求求他们的最大公因式。

fx=q

gx=q2x*gx

r1x=q3

所以；………………10分

4.（本题14分）设二次型为

用非退化线性变换将化为标准型，并写出相应变换的矩阵；

求在实系数下的规范形及其正惯性指数.

解：(1)

,………………2分

作非退化线性替换

即.………………4分

于是.………………5分

再作非退化线性替换

………………7分

则得标准型为，………………8分

所作相应变换的矩阵为

………………10分

(2)再作非退化线性替换

………………12分

得在实系数下的规范形且其正惯性指数p=3.

………………14分

四、证明题（）

1．设QUOTE线性无关，证明,QUOTE,线性无关。

证设由线性关系，则

。

再由题设知线性无关，所以

，

解得，所以,QUOTE,线性无关。

2．证明：QUOTE=QUOTE

解：分别将第行乘以-加到第1行，得

左边=

==右边。

3．如果QUOTE，是n级正定矩阵，证明：QUOTE也是正定矩阵。

证因是正定矩阵，故为正定二次型，作非退化线性替换，又也是对称矩阵，故

，

从而为正定二次型，即证为正定矩阵。同理为正定矩阵。

应用正定矩阵的定义，对任意的n维非零实向量，与于是有

由与都是正定矩阵，故与都是实对称矩阵。都是实对称矩阵。所以是正定矩阵。

4．设A为n阶矩阵，,则秩(A-E)+秩(A+E)=n

解：作下列矩阵，并进行分块初等变换

→→→(这是把第二列的1/2(A+E)倍加到第一列）→这些变换下，前后矩阵的秩是不变的，最后的矩阵的秩为n,最前面矩阵的秩为秩(A+E)+秩(A-E).故有

秩(A+E)+秩(A-E)=n