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百学须先立志。——朱熹

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微积分在实际中的应用

一、微积分的发明历程

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学

分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成

就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就

是微分，“无限求合”就是积分。微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理

论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨

论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方

法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与

微分的互逆关系。前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡

献。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿

山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了变“量数学”

时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分

的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布

尼茨。

二、微积分的思想

从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在

古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前

287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，

他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线

的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早

在我国的古代就有非常详尽的论述，

与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，

万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。公元3世纪,刘徽在《九章算术》中

提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而

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百学须先立志。——朱熹

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无所失矣”用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。他的极限思

想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现。虽然最后是欧洲人真正的

研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不

可忽视的。从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到14世纪初弧矢割圆

术、组合数学、计算技术改革和珠算等数学史上的重要成果，中国古代数学有了

微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具

备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜

中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目

排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。

意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看

成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准

备。

三、解析几何为微积分的创立奠定了基础

由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，

为科学技术的发展开创了美好前景。到了17世纪，有许多著名的数学家、天

文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。

笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简

称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数

形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明