2025年中考数学复习---等腰三角形的三线合一 方法讲解及巩固练习.docx

等腰三角形的三线合一

典例精析

【典型题1】★★如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()

A.3

B.2

C.5

D.3

【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“∠ABC的平分线垂直于AE，∠ACB的平分线垂直于AD”，根据等腰三角形三线合一性质，可得出△BAE和△CAD均是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可.

【答案解析】解:∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,

在△BNA和△BNE中,

∠ABN=∠EBN,BN=E∠ANB=∠ENB

∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE,

∴△BAE是等腰三角形,

同理△CAD是等腰三角形，

∴点N是AE中点，点M是AD中点(三线合一),∴MN是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=12DE=

【典型题2】★如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且CM⊥AB,M为垂足,AM=13AB.若四边形ABCD的面积为157,则四边形AMCD

【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB”,因此辅助线为延长BA、CD,交点为E，构造等腰三角形.

【答案解析】解：如图所示：延长BA、CD，交点为N.

∵CM平分∠BCD,CM⊥AB,∴MB=MN.

又∵AM=

∴AN=

∵AD∥BC,∴△NAD∽△NBC.

C

∴

∴

∴

∴

∴

=

【规律总结】辅助线作法

三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边D上的中线、底边上的高互相重合.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等.等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分关系.在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作底边上的高或中线，这要视具体情况而定.

巩固练习

【巩固练习1】

已知如图,三角形ABC中,∠A=90。,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.

【巩固练习2】

如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.

【巩固练习3】

如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD.

【巩固练习4】

如图,在△ABD中,BC⊥AD于点C,E为BC上一点,AE=BD,EC=CD,延长AE交BD于点F.求证:AF⊥BD.

【巩固练习5】

如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,点M、N分别是BC、DE的中点,连接DE,MN.

(1)猜想MN与DE的位置关系,并证明;

(2)若∠A=60°,求MNDE的值

【巩固练习6】

如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上,AE=AD,EC,BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.

(1)若AB=1,求AE的长;

(2)如图②,连接AG,求证:EG-DG=2AG.

1.证明：如图，连接AD，

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,

∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°,∠BDA=90°,

∴BD=AD,在△BDE和△ADF中,

B=AD,

∴△BDE≌△ADF,∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,

∵∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°,

∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°,

∴△DEF为等腰直角三角形.

2.证明：作EF⊥AC于F,

∵EA=EC,

∴AF=FC=

∵AC=2AB,

∴AF=AB,

∵AD平分∠BAC交BC于D,

∴∠BAD=∠CAD,=AF,=AE

△ABE△AFE

∴∠ABE=∠AFE=90°.

∴EB⊥AB.

3.证明:如图,延长BA,CD交于点E.

∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,

∴∠EBD=∠CBD,∠BDE=∠BDC=90°.

又∵BD=BD,

∴△BDC≌△BDE(ASA).

∴BC=B