专题五 相似三角形的存在性（原卷版）.pdfVIP

专题五相似三角形的存在性

考点归纳

1．相似判定：

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当

的判定方法，解决问题．

2．思路总结：

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，

对比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法

可优先考虑思路1．

【小结】搞定相似存在性问题，需解决好以下两个问题：

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

典例剖析＋巩固训练

2

【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，

2

0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点Q是抛物线y＝ax+bx+c上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

2

【变式训练】（2020•准格尔旗三模）如图，抛物线y＝ax+bx+2与x轴交于点A（﹣1，

0）、B（4，0）两点，与y轴交点C，连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E，

交BC于点F，顶点为M．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PEB与△BOC相似，求点P的坐标；

【典例2】（2020•兴安盟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中

点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，

点E的坐标．

2

【变式训练】（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+bx+c经过A（﹣

1，0），B（4，0），C（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）

中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．

2

【典例3】（2020•广安）如图，已知抛物线y＝x+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，

交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：

是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符

合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．