专题2.6 二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）（解析版）.pdf

专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）

1

【题型等腰三角形的存在性问题】

2

【题型直角三角形的存在性问题】

【题型3等腰直角三角形存在性问题】

等腰三角形的存在性问题

【方法1几何法】“两圆一线”

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有ABAC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BABC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CACB．

注意：若有重合的情况，则需排除．

以点1为例，具体求点坐标：

C

过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH1，

又AC113，HC11311223



故点坐标为123，0

C1

类似可求点C2、C3、C4．关于点C5考虑另一种方法．

【方法2代数法】点-线-方程

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表示点：设点C5坐标为m，又（1,1）、（4,3），

,0AB

表示线段：221

AC5（m-1）

22

9

BC5（m-4）

23

联立方程：2129，解得：m，23

（m-1）（m-4）故点坐标为（，0）

6C26

直角三角形的存在性

【方法1几何法】“两线一圆”

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．

C2

易证AMBBNC2

AMMB

BNNC2

由A、B坐标得AM2

3

代入得：BN

2

13

故坐标为（，0）

C2

2

、求法相同，如下：

CC

34

AMMC3

易证AMNB,

CC

33C3NNB

由A、B坐标得AM1，BN3，设MC3a,NC3b

1a

代入得：,即ab3,又ab4,故a1或3

b3



故坐标为2，0，坐标为（4，0）

C3C4

【方法2代数法】点-线-方程

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不妨来求下：

C1

（1）表示点：设坐标为（m,0），又A（1，1）、B（5，3）；

C1

22

（2）表示线段：AB25，A，

C1（m-1）1

22

，

BC1（m-5）3

222