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隐圆问题

一【问题背景】

有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系．解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆），再利用和圆有关的一些知识进行求解．

二、【范例】

1.点和隐圆

例1在平面直角坐标系中，已知圆：，点在圆上，且

，则的最大值是．

分析与解：圆即，圆心为，半径为．

如图，取中点，连结，则结合垂径定理和勾股定理

易得．因此动点在以为圆心，为半径的圆上运

动，此圆方程为：．

另一方面，由于为的中点，所以，

则，因而只要求圆上一动点到定点距离的最大值，易知此最大值为，故的最大值是．

说明：的最小值是．

例2在平面直角坐标系中，已知圆，点，为圆上的不同的两点，且，若，则的最小值为．

解：如图，取中点，连结，，

则，

设，因为为的中点，所以，

则，

又因为，所以，

即，所以，

故点在以为圆心，半径的圆上运动，显然定点在此圆内，因而求的最小值即为求定点与圆：上一点距离的最小值，易知此最小值为，故的最小值为．

说明：的最大值为．

2.直线和隐圆

例3已知动点与两个定点的距离之比为，那么直线的斜率的取值范围是．

解：先求动点的轨迹方程．设，由得，

整理得，即动点在以为圆心，为半径的圆上运动．

当直线与圆相切时，设斜率为，则其方程为，

根据得，结合图形可知，直线的斜率的取值范围是．

说明：到两定点距离之比（不为）等于已知数的动点轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．

例4在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是．

解：设，则，

整理得，即动点在以为圆心，为半径的圆上运动．

另一方面，由知动点在线段的垂直平分线上运动，因而问题就转化为直线与圆有交点，

所以，故实数的取值范围是．

3.圆和隐圆

例5在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.

若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

解：设，则圆方程为

又设，，即

这说明既在圆上，又在圆上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，

，

解得，即的取值范围是．

图3例6已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，求的取值范围．

图3

解法1：如图3，过点作的直径，连结，

要存在满足条件的点，只要存在点即可．

由于，，所以，

因而点在以为圆心，为半径的

上运动，这说明点同时在和上，因而两个圆必有交点，

，

解得的取值范围是．

解法2：设，则．

因为点在上，所以，即()，

这表明点在方程()表示的圆上，又点在上，因此这两个圆有公共点，

，

解得的取值范围是．

三、【练习】

1．在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，为半径的圆及其内部，则实数的取值范围是________

答案：

2．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线斜率的取值范围是___________.

答案：

3.在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为__________

答案：

4.若实数成等差数列，点到动直线上的射影为，已知点，则线段长度的最大值为____________

答案：

5.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是，动点分别在和上，且，过三点的动圆所形成的区域的面积为__________

答案：

解析：三点的动圆在以为直径的圆上，以的中点为圆心，M点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以为圆心，为半径的圆．