专题训练06 全等三角形的性质与判定的综合运用-【高效导学】2022-2023学年八年级数学上册同步多维突破讲与练（人教版）（解析版）.pdfVIP

专题训练六：全等三角形的性质与判定的综合运用

◆◆类型一：证明角相等

●●【典例一】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，延长BD交CE的延长线于点F．

求证：∠F＝∠BAC．

【分析】由△BAD≌△CAE，推出∠ADB＝∠AEC，由“8字型”证明∠F＝∠DAO，即可解决问题．

【解答】证明：设BF交AE于O．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

=

∠=∠，

=

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ADB＝∠AEC，

∴∠ADO＝∠FEO，

∵∠AOD＝∠EOF，

∴∠F＝∠DAO，

∵∠DAO＝∠BAC，

∴F＝∠BAC．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用“8字

型”证明角相等，属于中考常考题型．

◆变式1：（2021秋•兴化市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE

交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：∠EAF＝∠DAF．

【分析】（1）求出∠AEC＝∠ADB＝90°，根据AAS推出即可．

（2）根据全等求出AE＝AD，根据HL证出Rt△AEF≌Rt△ADF，推出∠EAF＝∠DAF即可．

【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

在△ABD和△ACE中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△ABD≌△ACE（AAS）．

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴AE＝AD，

在Rt△AEF和Rt△ADF中，

=

=，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），

∴∠EAF＝∠DAF，

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有

SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有定理HL，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，

对应角相等．

◆变式2：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE与CD相交于点O．

求证：∠BDO＝∠CEO．

【分析】首先由“SAS”可证△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠B＝∠C；然后由“AAS”证得

△BDO≌△CEO，得到结论．

【解答】证明：在△ABE与△ACD中，

=

∠=∠．

=

则△ABE≌△ACD（SAS）．

∴∠B＝∠C．

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE．

在△BDO与△CEO中，

∠=∠

∠=∠．

=

∴△BDO≌△CEO（AAS）．

∴∠BDO＝∠CEO．

【点评】考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共

角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

◆◆类型二：证明线段相等

●●【典例二】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．

求证：BC＝BE．

【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD

＝BF﹣EF，即BC＝BE．

【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，

∴AD⊥BC，AF⊥BE，

∴∠ADC=∠AFE=90°，

在Rt△ADC和Rt△AFE中，

ADAF





ACAE



∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．

∴CD＝EF．

在Rt△ABD和Rt△ABF中，

ADAF





ABAB



∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．

∴BD＝BF．

∴BD﹣CD＝BF﹣EF．

即BC＝BE．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SA