专题训练07 作辅助线构造三角形全等的常用技巧-【高效导学】2022-2023学年八年级数学上册同步多维突破讲与练（人教版）（原卷版）.pdfVIP

专题训练：作辅助线构造三角形全等的常用技巧

◆◆类型一：利用“角平分线”构造全等三角形

◎◎◎技巧一：当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线，构造全等三角

形。

●●【典例一】（2021秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角

顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

◆变式1：（2021秋•汉滨区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说

明CD＝DB的理由．

◆变式2：（2021秋•海珠区校级期中）如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，

且点E是CD的中点．问：

（1）点E在∠ABC的平分线上吗？

（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明．

◎◎◎技巧二：当图中有垂直于角平分线的垂线段时，延长垂线段，构造全等三角形。

●●【典例二】（2021秋•新兴县期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．

（1）求证：∠2＝∠1+∠C；

（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．

◆变式3：如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E．

求证：BD＝2AE．

◆◆类型二：利用“截长补短法”构造全等三角形

◎◎◎技巧三：在处理线段的和差问题时，常采取“截长补短”的方法；截长法是在较长的

线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的部分等于另一短线段；补短法是将某短线段

延长，使延长的部分等于另一短线段，或是使短线段延长至等于长线段。

●●【典例三】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E．

求证：AB+CD＝BC．

◆变式4：（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

AD、CE相交于点P．

（1）求∠APC的度数；

（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

◆变式5：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF

1

=∠BAD．求证：EF＝BE+FD．

2

◆◆类型三：利用“倍长中线法”构造全等三角形

◎◎◎技巧四：当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从

而将题目中的已知和未知的条件集中到同一对全等三角形中。

●●【典例四】如图，△ABC中，D为BC中点．

（1）求证：AB+AC＞2AD；

（2）若AB＝5，AC＝5，求AD的取值范围．

◆变式6：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．

求证：AC＝2AE．

◆变式7：如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE＝

AC，AF＝AB．连接EF，写出AD与EF的数量关系，并证明．

◆◆类型四：利用“一线三等角（垂直）模型”构造全等三角形

◎◎◎技巧四“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这

个角可以是直角也可以是锐角或钝角，有些时候我们也称之为“M型”“三垂直”等.

“一线三等角”三垂直全等模型辅助线如何构造:图形中存在“一线二等角”,补上“一

等角”构造模型解题;

●●【典例五】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标

为（1，6），求点A的坐标．

◆变式8：（2021秋•浑源县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y

轴上的一动点，点C的横坐标为﹣3，求点B的坐标．

专题突破练

1．已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME