专题4.2 圆切线的判定与性质综合（3大类题型）（解析版）.pdf

专题4.2圆切线的判定与性质综合（3大类题型）

【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】

【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】

【题型3圆切线的判定与性质综合】

【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】

1．（2023春•保德县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，

过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．

​

【答案】见解答．

【解答】证明：连接OD，

∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BAC＝∠BOD，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°，

∴∠ODE＝∠AED＝90°，

∴半径OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

2．（2022秋•大连期末）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝60°，∠C＝30°．求

证：CD是⊙O的切线．

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【答案】见试题解答内容

【解答】解：连OD，如图，

∵∠ADE＝60°，∠C＝30°，

∴∠A＝∠ADE﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，

又∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠A＝30°，

∴∠EDO＝90°，

所以CD是⊙O的切线．

3．（2022秋•龙川县校级期末）如图，OA是⊙O的半径，∠B＝20°，∠AOB＝70°．求证：AB

是⊙O的切线．

【答案】见解答．

【解答】证明：∵∠AOB＝70°，∠B＝20°，

∴∠OAB＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝90°，

∴OA⊥AB，

∵OA是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

4．（2022秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D

经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．

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【答案】见解析．

【解答】证明：连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

在⊙D中，AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝30°，

∴∠ADC＝60°，

∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴AD⊥AC，

又∵DA是半径，

∴AC是⊙D的切线．

5．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求

证：DE是⊙O的切线．

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：连接OD，

∵AO＝OB，D为AC的中点，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

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∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

6．（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使

AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．

【答案】证明过程见解答．

【解答】证明：如图，连接OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴CD＝BD，

∵OA＝OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODE＝∠CED．

∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°．

∴∠ODE＝90°，

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∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

7．（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．

（1）求AB的长；

（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，

∵∠