人教A版高中数学(必修第二册)导学案6.3.5平面向量数量积的坐标表示（解析版）.docVIP

《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【思考1】由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.

由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.

（二）数量积的坐标表示

【探究1】记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j

∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2

【探究2】|a|=

【探究3】（两点间的距离公式）

【探究4】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

【探究5】设θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

平面向量数量积的坐标表示：

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

平面向量的模与夹角的坐标表示：

(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)．

（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).

(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))．

(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．

【做一做】【答案】1.102.23.±2eq\r(2)4.120°

（三）典型例题

【例1】解析：（1）a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

（2）法一：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0＋eq\f(1,2)·22＋eq\f(1,3)·32＋eq\f(1,3)·0＝5.

法二：以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，M(1,2)，N(3,1)，于是eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(3,1)，故eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝5.

答案：（1）B（2）5

【巩固练习1】解析：（1）依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，

所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.

（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，

因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，所以F(eq\f(4,3)，2)．

所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，2)－(2，0)＝(－eq\f(2,3)，2)，

所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(2，1)·(－eq\f(2,3)，2)＝2×(－eq\f(2,3))＋1×2＝eq\f(2,3).

答案：（1）C（2）eq\f(2,3)

【例2】解析：(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝eq\r(5).

(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝2eq\r(13)，得x2＋y2＝52.①

由a⊥b，解得2x－3y＝0.②

联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－4.))

所以a＝(6，4)或a＝(－6，