人教A版高中数学(必修第二册)导学案7.1.1复数的概念（原卷版）.docVIP

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《7.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第七章复数

7.1复数的概念

学习目标：

1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程，培养数学抽象的核心素养；

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，培养数学抽象的核心素养；

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件，培养数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；掌握复数的分类及复数相等的充要条件。

2.难点：理解复数的概念、表示法及相关概念。

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

数系的推广：

方程有解的条件：

预习——

复数的概念：

复数的分类：

复数相等：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

1.复数的发展史

1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋eq\r(－15)和5－eq\r(－15)，积为25－(－15)＝40.

但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.

直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的.

到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函数论都有着重要应用.

2.探索交流，解决问题

【思考1】在实数范围内，方程x2＋2＝0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2＝2有解吗？我们又是怎样让它有解的？

【思考2】为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？

（二）复数的概念

1.复数的有关概念

(1)定义：形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做.

(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的与.

【做一做】指出复数的实部和虚部。

2.复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当.

【做一做】若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．

3.复数的分类

(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做；当时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

复数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.))

(2)集合表示：

【思考1】两个复数一定能比较大小吗？

【思考2】复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()

(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.()

(3)复数z＝bi是纯虚数．()

(4)实数集与复数集的交集是实数集．()

（三）典型例题

1.复数的概念

例1.以2i-5的虚部为实部,以5+2i的实部为虚部的复数是________.?

【类题通法】复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复