人教A版高中数学(必修第二册)导学案7.1.2复数的几何意义（原卷版）.docVIP

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《7.1.2复数的几何意义》导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第七章复数

7.1复数的概念

学习目标：

1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，培养直观想象的核心素养；

2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念，培养数学抽象的核心素养；

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，提示数学抽象的核心素养。

学习重难点：

1.重点：掌握用向量的模来表示复数的模的方法。

2.难点：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

复数的概念：

复数相等：

预习——

复数的几何意义：

复数的模：

共轭复数：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

1.复数的发展史

19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.

复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.

2.探索交流，解决问题

【问题1】我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？

【问题2】复数与复平面内以原点为起点的向量有怎样的对应关系？

【问题3】向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模与点Z有什么关系？

（二）复数的几何意义

1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部。

2.复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点.

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).

【做一做】复数1－2i在复平面内对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

3.复数的模

(1)定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为或.

(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).

【做一做】复数z＝1＋3i的模等于()

A．2B．4C.eq\r(10) D．2eq\r(2)

4.共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用eq\o(z,\s\up6(－))__表示，即如果z＝a＋bi，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.

【做一做】复数z＝－2＋5i的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝________．

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()

2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()

3.复数的模一定是正实数.()

4.两个共轭复数关于x轴对称.()

5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()

（三）典型例题

1.复数与复平面内的点

例1.在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：

(1)在虚轴上；

(2)在第二象限；

(3)在第二、四象限；

(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

【类题通法】利用复数与复平面内的点一一对应解题的步骤：

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

【巩固练习1】当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)