人教A版高中数学(必修第二册)导学案8.3简单几何体的表面积和体积（第1课时）（解析版）.docVIP

《8.3简单几何体的表面积和体积》

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

导学案参考答案

新课导学

（一）新知导入

【问题】(1)这就需求出金字塔的体积.

(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.

（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

【做一做】棱长都是1的三棱锥的表面积为()

A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)

解析：S表＝4S正△＝4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).

答案：A

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体

体积

说明

棱柱

V棱柱＝Sh

S为棱柱的底面积，h为棱柱的高

棱锥

V棱锥＝eq\f(1,3)Sh

S为棱锥的底面积，h为棱锥的高

棱台

V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h

S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高

【做一做1】解析：V棱台＝eq\f(1,3)×(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).

答案：6＋2eq\r(2)

【做一做2】解析：由题意得四棱锥的底面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2＝4.

故四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×4×3＝4.

答案：4

（三）典型例题

【例1】解：如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，

所以DD1＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋（OD－O1D1）2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(3).

所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3×eq\f(1,2)×(3＋6)×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×32＋eq\f(\r(3),4)×62＝eq\f(99\r(3),4)(cm2).

【巩固练习1】解析：所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为eq\f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))\s\up12(2))＝1，

所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝2eq\r(3).故选B.

答案：B

例2.解：由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，

∵S△A1D1E＝eq\f(1,2)EA1·A1D1＝eq\f(1,4)a2，

又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,12)a3，

∴V三棱锥A1－D1EF＝eq\f(1,12)a3.

【巩固练习2】解：在上取点，在上取点，使得，连接，

则几何体为直三棱柱，

因为，，，

所以，

所以是以为直角的直角三角形，

，，

则多面体是四棱锥，高为8，

所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，

，

，

所以该几何体的体积为.

【例3】解：连接，交于点，取的中点，连接，，

（1），

∴

（2）∵，，∴

，

【巩固练习3】解：由图可知△A1BD是边长为eq\r(2)a的等边三角形，其面积为eq\f(\r(3),2)a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝eq\f(\r(3),2)a2＋3×eq\f(1,2)×a2＋3a2＝eq\f(\r(3)＋9,2)a2.

（四）操作演练素养提升

答案：1.C2.A3.B4.eq\f(32\r(2),3)