高中数学 同步学案 四种命题　四种命题间的相互关系.docVIP

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1．1.21.1.3四种命题四种命题间的相互关系

预习课本P4～8,思考并完成以下问题

1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？

2．什么样的两个命题有相同的真假性？

3．两个互逆命题或互否命题,它们之间的真假性有没有关系？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．原命题与逆命题

2．原命题与否命题

3．原命题与逆否命题

4．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()

(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()

答案：(1)√(2)√

2．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()

A．若一个数是负数,则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数,则它是负数

C．若一个数不是负数,则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数,则它不是负数

答案：B

3．命题“若x2y2,则xy”的否命题是________________________________________________________________________．

答案：若x2≤y2,则x≤y

4．命题p：若a＝1,则a2＝1；命题q：若a2≠1,则a≠1,则命题p与q的关系是________．

答案：互为逆否命题

四种命题的概念

[典例]把下列命题改写成“若p,则q”的形式,写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)对顶角相等；

(2)全等三角形的对应边相等．

[解](1)原命题：如果两个角是对顶角,则它们相等；

逆命题：如果两个角相等,则它们是对顶角；

否命题：如果两个角不是对顶角,则它们不相等；

逆否命题：如果两个角不相等,则它们不是对顶角．

(2)原命题：若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等．

四种命题的转换方法

(1)逆命题：互换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题．

(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题．

(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题．

[注意]四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式．

[活学活用]

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面；

(2)当x＝2时,x2－3x＋2＝0.

解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：若x2－3x＋2＝0,则x＝2；

否命题：若x≠2,则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：若x2－3x＋2≠0,则x≠2.

四种命题真假的判断

[典例]判断下列命题的真假．

(1)“正三角形都相似”的逆命题．

(2)“若x2＋y2≠0,则x,y不全为零”的否命题．

(3)“若m0,则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

[解](1)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”．假命题．

(2)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0,则x,y全为零”．真命题．

(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根,则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根,

所以判别式Δ＝1＋4m0,解得m－eq\f(1,4),

故m≤0,为真命题．

[一题多变]

1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m0,则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假,则结果如何？

解：原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根,则m0”．

因为方程x2＋x－m＝0有实根,所以判别式Δ＝1＋4m≥0,所以m≥－eq\f(1,4),故逆命题为假命题．

2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m0,则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假,则结论如何？

解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根,则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根,则m≠0,所以判别式Δ＝1＋4m0,则m－eq\f(1,4),故m≤0,为真命题．

解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆