浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷含详解.docx

2024学年第一学期期末考试高一数学试卷

一?选择题：本题共8小题：每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1．将化为弧度是（????）

A． B． C． D．

2．已知角的终边过点,则（????）

A． B． C． D．

3．已知向量满足,则在方向上的投影向量是（????）

A． B． C． D．

4．将函数图象向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则（????）

A． B．

C． D．

5．函数的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．在内函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

7．已知等边三角形的边长为2,点为内切圆上一动点,若,则的最小值为（????）

A．2 B．1 C． D．

8．已知且,则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

二?多选题：本题共3小题：每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.

9．已知平面向量,下列说法不正确的有（????）

A．若,,则

B．

C．

D．若,则

10．已知函数,则（????）

A．曲线的一个对称中心为

B．函数在区间单调递增

C．函数为偶函数

D．函数在内有4个零点

11．已知,则下列选项正确的有（????）

A．

B．

C．

D．若,则

三?填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.

12．一个扇形的周长为,面积为,则此扇形的圆心角为.（用弧度制表示）

13．设是平面内不共线的一组基底,,若三点共线,则实数.

14．已知函数,其中,在上有6个零点,则的范围为.

四?解答题：本题共6小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15．如图,在平行四边形中,点为中点,点,在线段上,满足,设.

(1)用表示向量.

(2)若,求.

16．已知.

(1)分别求和的值.

(2)求的值.

17．已知函数.

(1)若是三角形中一内角,且,求的值.

(2)若函数在,有唯一零点,求的范围.

18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式.

(2)已知在的值域为,求的取值范围.

(3)将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变）,再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解.

①求实数的取值范围.

②求的值.（用表示）

19．固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出“悬链线”方程,其中为参数.当时,就是双曲余弦函数,类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正,余弦函数有许多类似的性质.

(1)已知,求.

(2)类比正弦函数,余弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明.

(3)已知,对任意的和任意的,都有恒成立,求的取值范围.

1．A

【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解.

【详解】.

故选：A.

2．C

【分析】根据三角函数定义得到,由诱导公式得到答案.

【详解】由三角函数定义知,.

.

故选：C

3．D

【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可.

【详解】因为向量满足.

所以,解得.

所以在方向上的投影向量是.

故选：D.

4．B

【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得.

【详解】由题意可得,将函数横坐标变为到原来的倍,纵坐标不变.

可得,再将其向右平移个单位长度.

即,即.

故选：B.

5．B

【分析】分别画出,图象,求两函数交点个数即可得.

【详解】令,.

则的零点个数即为y=gx与的交点个数.

画出两函数图象如图所示：

??

由图可得y=gx与的交点个数为个.

故函数的零点个数为.

故选：B.

6．C

【分析】根据被开方数为非负和对数的真数要大于零即可求解.

【详解】对于,有.

由,得,解得.

又,得.

由,得,解得.

又,得或或.

综上,或.

所以的定义域为.

故选：.

7．B

【分析】以的内切圆心为原点建立平面直角坐标系,利用向量线性运算的坐标表示,结合三角函数性质求出最小值.

【详解】正的边长为2,则其内切圆半径.

以正的中心为原点,边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系.

则,设.

.

而,因此.

则,当且仅当时取等号.

所以的最小值为1.

故选：B

8．A

【分析】将写成,写成,利用两角和与差正弦公式展开得到,再利用结合基本不等式求得其最大值.

【详解】因为,且,所以.

所以

即,所以.

则.

当且仅当,即时取等号,所以的最大值为.

故选：A.

9．AB

【分析】由时不成立可得选项A错误,根据数量积的概念可知选项B错误,根据可得选项C正确,根据得,化简可得选