2024年高一数学期末专题2.4 平面向量压轴综合（精选30题）备战期末压轴特训（解析版）.docx

期末专题2.4平面向量压轴综合

一、单选题

1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.

【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，

所以，因为D为BC的中点，所以，

，设，所以，

所以，可得，，

所以，

因为，所以.

故选：A.

??

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.

2．（23-24高一下·北京朝阳·期末）设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（????）

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形

【答案】C

【分析】由结合平面向量的减法推导出，利用平面向量的数量积运算推导出，即可得出结论.

【详解】因为，则，即，

即，所以，平面四边形为平行四边形，

因为，则，即，

因为，所以，，即，

即，即，即平行四边形的两条对角线长相等，

故平面四边形一定是矩形.

故选：C.

3．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知圆半径是1，直线与圆相切于点，过点的直线与圆交于，两点，且点与点在直线的两侧，点为中点，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，求出，，设，将转化为的函数，由三角函数的最值求解.

【详解】??

依题意，在中，，，

所以，，

设，，

在中，，

????????

????????

由于，则，

当时，，

此时取得最大值.

故选：D

4．（23-24高一下·江西吉安·期末）在中，，，，设，（），则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出，则，再利用余弦定理可得，结合基本不等式即可求解.

【详解】在中，，，

由余弦定理，得，即，

于是有①.

由，得，

即，

于是有②.

联立①②，得，

由，得，

将代入①中，得.

由，，，知，

所以

,

因为，

所以,

当且仅当即时，等号成立，

所以.

故当时，取得最大值为.

故选：C.

【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

5．（23-24高一下·福建三明·期末）设为的内心，，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.

【详解】取的中点，连，

因为，，所以，，

所以的内心在线段上，为内切圆的半径，

因为，

所以，

所以，得，

所以，

所以，

又，所以，

又已知，所以，

所以.

??

故选：B.

【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.

6．（23-24高一下·浙江宁波·期末）十七世纪法国数学家皮埃尔?德?费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（????）

A．﹣1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设，由余弦定理可得CM，进而求出的面积，根据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解．

【详解】因为在中，，，

所以由余弦定理可得，

由正弦定理可得，即，

又B为锐角，所以，

设，则，

即，解得，即，

所以，则，

又，

则为锐角，由于，故，

所以的三个内角均小于，

则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；

所以

，

所以，

所以

，

故选：C．

【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，解答的关键在于确定的费马点位置，进而利用面积关系求出，即可解决问题.

二、多选题

7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列正确的是（????）．

A．若，，则为直角三角形

B．若，则为正三角形

C．若，，则

D．若，，则为顶角为的等腰三角形

【答案】ABD

【分析】对于A和B，通过已知关系判断点的位置从而判断；

对于C和D，运用数量积的运算律，通过平方等方法进行转化求解即可.

【详解】对于A，若，，则，则