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期末专题3.3解三角形大题综合
1.(23-24高一下·河北沧州·期末)已知的内角的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,证明:是直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】化简条件,利用余弦定理即可求得;
利用正弦定理,把题中边的关系化为角的关系,进一步计算即可求得.
【详解】(1)由整理可得,
由余弦定理可得,
又,.
(2)由及正弦定理,可得,
,
,,,
,即是直角三角形.
2.(23-24高一下·广西玉林·期末)在中,分别是角的对边,.
(1)求角的大小;
(2)若是的内角平分线,当面积最大时,求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由得,再利用余弦定理即可求解;
(2)由余弦定理结合基本不等式可求得,从而求得当面积最大时,再结合正弦定理即可求解.
【详解】(1)因为,得,
所以,又,所以;
(2)在中,由余弦定理得,将
代入得,
,
所以,当且仅当时,即,
所以.
此时.
在中,,
由正弦定理得,解得,
故的长为.
3.(23-24高一下·江西·期末)在锐角△中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理以及两角和的正弦公式求解;
(2)利用正弦定理将边化角,用三角函数求取值范围.
【详解】(1),
由余弦定理可得,
整理得,
∴,
∵,∴,∴,∴.
(2)由正弦定理可知△的外接圆半径为,
∴,∴,
∴.
∵△为锐角三角形,∴即∴,
∴,∴,∴,
即的取值范围为.
4.(23-24高一下·福建三明·期末)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.点D在BC上,且
(1)若,求c
(2)若AD是∠BAC的角平分线,且,求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在中由正弦定理可得答案;
(2)由得,在中由余弦定理得,可得周长,再利用基本不等式可得答案.
【详解】(1)因为,
在中由正弦定理得,即,
所以,;
??
(2)由得
,即,
在中,由余弦定理得,所以,
所以周长,
由得,当且仅当时等号成立,
所以周长,
所以周长的最小值为.
??
5.(23-24高一下·辽宁丹东·期末)在中,角的对边分别为.
(1)求证:;
(2)若是上一点,平分,求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由可换成正弦值相等,再应用二倍角正弦公式,最后应用正弦定理得证;
(2)先设边长,再根据角平分线定理得出,再结合(1),最后应用余弦定理可解.
【详解】(1),
在中,由正弦定理得,
(2)??
设,则,
由(1)知,,
所以,因为为的角平分线,所以,
即,所以,
由余弦定理知,
化简整理得,
所以,
6.(23-24高一下·山东威海·期末)(1)证明:;
(2)记的内角,,所对的边分别为,,,已知.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)若成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
【分析】(1)证法一:从左向右证,先变形,然后利用两角和与差的余弦公式化简即可,证法二:从右向左证,利用两角和与差的正弦公式化简即可,
(2)(ⅰ)证法一:将利用正弦定理统一成角的形式,再利用三角函数恒等变换公式化简即可,证法二:将利用正弦定理统一成边的形式,然后利用余弦定理结合三角函数恒变换公式化简即可;(ⅱ)解法一:由可得,再由,得,再结合余弦定理和得,换元后构造函数分类讨论可求得结果,解法二:将由正弦定理统一成角的形式,再结合得,换元后构造函数分类讨论可求得结果,解法三:由,将整理得,换元后构造函数分类讨论可求得结果.
【详解】证明:(1)法一:????????????
.
法二:,
,
所以.
(2)(ⅰ)法一:因为,
由正弦定理可知,
即,
即,可得,
由(1)可知,
所以,因为,所以,
所以,因为,所以,
又因为,所以,所以或(舍),
所以.
法二:因为,由正弦定理可得,
因为,所以,
所以,即,
所以,
即,所以,
因为,所以,又因为,
所以,所以或(舍),所以.
解:(ⅱ)法一:因为,所以,即,
因为,所以,
所以,
所以,
,
因为,所以,
,
,
因为,,,,可得,
设,则,??????????????????????
即对成立,
令,
当时,即时,可得,解得,所以;
当时,即时,可得,解得,所以;
当时,即时,可得,解得,所以.
综上,.
法二:因为,由正弦定理可知,
因为,所以,
,
代入,整理得,下同法一.
法三:因为,将整理得,
即,由题意可得,设,则,
即对成立,令,
当时,即时,可得,解得,所以;
当时,即时,可得,解得,所以;
当时,即时,可得,解得,所以.
综上,.
7.(23-24高一下·福建漳州·期末)的内角所对的边分别为.若,且.
(1)求;
(2
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