2024年高一数学期末专题5.3 立体几何初步大题综合（精选30题）备战期末真题必刷（解析版）.docx

期末专题5.3立体几何初步大题综合

1．（23-24高一下·甘肃·期末）如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点．

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(1)证明：平面；

(2)证明：平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】（1）证明：在三棱锥中，侧面底面，侧面底面，

而，故平面，平面，

故；

又，是的中点，故，

而平面，

故平面；

（2）因为平面，平面，

故，又，平面，

故平面，平面，

故，又，平面，

故，平面，平面，

故平面．

2．（23-24高一下·辽宁阜新·期末）如图所示，在直三棱柱中，，且.

(1)求证：平面平面；

(2)若D是的中点，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直即可证面面垂直；

（2）结合第一问用等体积法即可求解.

【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面ABC.

因为平面ABC，

所以.

因为，平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，

所以是三棱锥的底面上的高.

因为，

所以.

因为D是的中点，

所以.

因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

所以三棱锥的体积.

3．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

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(1)求证：平面；

(2)求点到直线的距离；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）求出三边边长，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，由此可得出点到的距离为，即为所求.

【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如下图所示：

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因为为的中点，为的中点，则，即，

同理可得，所以，，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，

因为、分别为、的中点，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，

因为，、平面，所以，平面平面，

因为平面，因此，平面.

（2）解：因为平面，、、平面，则，，，

因为，，则，

因为、分别为、的中点，则，

因为、分别为、的中点，则且，

因为，则，

由（1）可知，，所以，，

因为，则，

因为为的中点，则，

所以，，

所以，，

故，

因此，点到直线的距离为.

4．（23-24高一下·湖北恩施·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，,且,分别是的中点．

??

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明，即可证明线面平行；

（2）利用等体积转化求点到平面的距离.

【详解】（1）连接，

，分别为，中点，为的中位线

??

，且．

又为中点，且，且，

，四边形为平行四边形，

．又平面，平面，

平面．

（2）在菱形中，为中点，所以，

根据题意有DE=，C1E=．

∵棱柱为直棱柱，平面平面，

且平面平面，DE在面ABCD内，

所以有平面，EC1在面BCC1B1内，

，所以，

设点C到平面的距离为，根据题意有，

则

则有，

点C到平面的距离为．

5．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

??

(1)证明：平面；

(2)若平面，证明：.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；

（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.

【详解】（1）设与交于点，连接，

因为底面是正方形，所以为的中点，

又因为为的中点，所以，??????????????????????????????

因为平面，平面，

所以平面.??

??

（2）因为底面是正方形，所以，???????????????????

又因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

6．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱锥中，作平面，垂足为，连接并延长交棱于点为棱上的一点，若，二面角的大小与相等，求证：平面.

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【答案】证明见解析

【分析】连接，推出平面，，得为二面角的平面角，根据推出，再根据线面垂直的判定可得平面.

【详解】连接，平面，平面，，

，平面，

平面，因为平面，，

因为平面，又，

为二面角的平面角，，

平面平面，

又，

，

，从而，

平面平面????????????

??

7．（23-24高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若.

??

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的平面角的正切值；

(3)求异面直线与间的距离.

【答