2024年高三数学期末专题07 圆锥曲线小题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（附加）（精选40题）（解析版）.docx

期末专题07圆锥曲线小题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（附加）

（精选40题）

一、单选题

1．（22-23高二下·江苏镇江·期末）抛物线的焦点坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标.

【详解】由于抛物线的方程为，

所以，，则

所以抛物线的焦点坐标是，

故选：A.

2．（22-23高二下·河北·期末）已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（????）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D

【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．

【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，

实数满足，曲线是双曲线，

实半轴的长为，虚半轴的长为，

显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；

焦距为：，焦距相等，所以D正确；

离心率为：和，不相等，所以C不正确．

故选：D．

3．（22-23高二下·湖北荆门·期末）过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线相交于点．若为的中点，则（????）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，结合已知点的关系求出交点横坐标作答.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，直线的方程为，

??

由消去y并整理得：，设，

则，而点的横坐标为，又是的中点，则有，

由，，解得，因此，又，解得，

所以.

故选：D

4．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得???????，再利用两点间的距离公式计算得结论.

【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，

由得，因此，

故.

因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，

因此由得，即，

所以

.

因为，所以，因此，

所以的取值范围是.

故选:C.

5．（22-23高二下·广东·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（????）

A． B．2 C． D．5

【答案】C

【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．

【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，

由点到直线的距离公式可得，

由勾股定理得，

在中，，，

在中，，，，

，

由余弦定理得，

化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，

故选：C．

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：

①直接求出、，可计算出离心率；

②构造、的齐次方程，求出离心率；

③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．

6．（22-23高二下·福建福州·期末）设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，四边形为矩形，设，则，利用椭圆定义可得出与的等量关系，利用勾股定理可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.

【详解】如下图所示：

??

由题意可知，为、的中点，则四边形为平行四边形，则，

又因为，则四边形为矩形，

设，则，所以，，

由勾股定理可得，

所以，该椭圆的离心率为.

故选：B.

7．（22-23高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左?右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可.

【详解】??

因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点

所以，

则渐近线方程为．

故选:B．

8．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（????）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】延长，交于点T，则可得，再结合双曲线的定义得，连接，则，而为定值，所以由图可知，从而可求得结果.

【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，

因为P在双曲线上，所以，所以，

连接，则，

因为，

所以，当三点共线时取等号，

即点和点Q距离的最大值为3，

故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题.

9．（