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期末专题12数列压轴综合(附加)(精选30题)
一、单选题
1.(21-22高二下·辽宁大连·期末)数列满足,,则数列的前80项和为(????)
A.1640 B.1680 C.2100 D.2120
【答案】A
【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.
【详解】设,因为的周期为,
所以的周期为.
又,,所以当n为奇数时,,
所以当n为偶数时,.
又,所以,,
,于是得到,同理可求出
,…,
设,则数列是以6为首项,8为
公差的等差数列,所以数列的前80项和为数列的前20项和
.故B,C,D错误.
故选:A.
2.(20-21高二下·浙江绍兴·期末)已知正项数列满足:,设,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用进行放缩,然后再逐项分析即可.
【详解】,
设,,令,得,易得
所以,所以,即
所以,
若,则,与矛盾,所以A错
若,则,由得
由,即得
由,即得
所以可以推出,与矛盾,所以B错
又因为
所以
因为,所以
故选:D.
3.(22-23高二下·安徽合肥·期末)如图,正方形的边长为5,取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去,则从正方形开始,连续15个正方形的面积之和等于(????)
??
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
设第个正方形的面积为,第个正方形的边长为,则第个正方形的对角线长为,则由题意可得,数列是首项为,公比为的等比数列,从而可求出,进而可求得答案.
【详解】
记第1个正方形的面积为,第2个正方形的面积为,第个正方形的面积为,设第个正方形的边长为,则第个正方形的对角线长为,
所以第个正方形的边长为,
则数列是首项为,公比为的等比数列,
,则,
当时,,又,
数列是首项为,公比为的等比数列,
连续15个正方形的面积之和等于
故选:B
【点睛】
关键点点睛:此题考查等比数列应用,考查等比数列通项公式和求和公式的应用,解题的关键是根据题意找到第个正方形的边长为与第个正方形的边长的关系,从而可得,考查计算能力,属于较难题.
4.(21-22高二下·江苏南京·期末)将等比数列按原顺序分成1项,2项,4项,…,项的各组,再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间,得到新数列:,,,,,,,,,,…,新数列的前项和为.若,,,则S200=(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由已知求得等比数列的首项和公比,以及等差数列的首项,再求得数列的前200项中含有数列的前7项,含有数列的前193项,运用分组求和的方法可求得答案.
【详解】解:由已知得,,,等比数列的公比.
令,则,,
所以数列的前200项中含有数列的前7项,含有数列的前193项,
故
.
故选:A.
5.(20-21高二下·浙江衢州·期末)已知等差数列满足:,则的最大值为(????)
A.18 B.16 C.12 D.8
【答案】C
【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律,计算得出结果.
【详解】
不为常数列,且数列的项数为偶数,设为
则,一定存在正整数k使得或
不妨设,即,
从而得,数列为单调递增数列,
,且,
,同理
即,
根据等差数列的性质,
所以n的最大值为12,选项C正确,选项ABD错误
故选:C.
6.(22-23高二下·安徽合肥·期末)定义高阶等差数列:对于一个给定的数列,令,则数列称为数列的一阶差数列,再令,则数列是数列的二阶差数列.已知数列为2,5,11,21,36,,且它的二阶差数列是等差数列,则(????)
A.45 B.85 C.121 D.166
【答案】C
【分析】利用二阶差数列是等差数列,由此将原数列一一列举即可.
【详解】该数列的一阶差数列为3,6,10,15,,则二阶差数列为3,4,5,,
因为二阶差数列是等差数列,故二阶差数列后面的项为6,7,8,,
所以一阶差数列后面的项为21,28,36,,
从而原数列后面的项为57,85,121,,故.
故选:C
7.(22-23高二下·河北邢台·期末)数列单调递减,且,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用数列单调递减,可知,可化为,再判断数列
的单调性,即可求出的取值范围.
【详解】∵数列单调递减,∴,
∴,
则,
令,,令,可知在区间上单调递增,则数列为单调递增数列,
对所有的正整数都成立只需时,成立,
即,解得,
∴的取值范围是,
故选:C.
二、多选题
8.(22-23高二下·安徽亳州·期末)已知等比数列的前项积为,公比,且,则()
A.当时,最小
B.
C.存在,使得
D.当时,最小
【答案】BD
【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项B:因为,所以,
又因为,所以,
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