2019新人教A版高中数学必修一弧度制教案.docx

弧度制

教材分析

本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。

课程目标

1.了解弧度制，明确1弧度的含义；

2.能进行弧度与角度的互化；

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式；

学科素养

1.数学抽象：角集与实数集间的一一对应；

2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式；

3.数学运算：角度制与弧度制的互换；

4.数学模型：从圆的图形中理解角度值与弧度值。

教学重难点

教学重点：理解并掌握弧度制的定义，熟练的进行角度制与弧度制的互化，弧度制的运用；

教学难点：理解弧度制的定义，弧度制的运用。

教学方法

引导发现法、讲授法

教学准备

多媒体

教学过程

创设情景

1、我国现行的度量衡中，半斤等于八两吗？

半斤等于五两即1斤等于10两是十进制

半斤等于八两即1斤等于16两是十六进制

度量衡是可以制定的，需要满足什么条件？

①共同约定②便于计算

3、国际单位制中衡量重量的单位是KG，那么KG跟斤能并存存的前提是什么呢？

可以进行换算

复习回顾

1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？

角度制的单位有：度、分、秒。

2.1°的角是如何定义的？度、分、秒又如何换算呢？

规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。

1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.

你知道60°+sin60°等于多少吗？

讲授新课

1.观察发现

如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.

设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为l

由初中所学知识可知：l=nπr180，这就是角度制中的弧长公式,在这个式子中lr

几何画板展示

【探究】在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q

所形成的圆弧QQ1的长为l1，l1与r1的比值是多少?我们能得出什么结论？

【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.

2.弧度制的概念

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，弧AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.

根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角为αrad，那么有：

|α|=lr

l=|α|?r(弧长公式）(2)r=l

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.

一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.

欧拉是最早提出弧度制概念的数学家。

他在1748年的时代著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于圆周角的12π

弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（JamesThomson）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径”（radius)”的前四个字母与“角（angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受并沿用至今.

3.弧度制与角度值之间的换算关系.

4.例题分析

例1.把下列各角从弧度化成角度

（1）3/5π：（2）0.5

例2.把下列各角从角度化成弧度

（1）252°；（2）11°15′

【注意】角度中含有分(‘)秒(‘’)时，化成弧度制之前，要先化成度(°).

填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表

例3利用弧度制证明下列有关扇形的公式：

l=αR;(2)S=;(3)S=lR.

其中R是圆的半径，α（0α2π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.

证明：有公式|α|=可知l=αR.

下面证明（2）（3）.

半径为R,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是,,将n°转化为弧度，得α=.

于是，S=.

将l=αR