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数学试验汇报

试验序号：日期：年11月19日

班级

信计班

姓名

学号

试验名称：定积分的近似计算

问题背景描述：

运用牛顿——莱布尼茨公式虽然可以精确计算定积分的值，但它仅合用于被积函数的原函数能用初等函数体现出来的情形。但在定积分的诸多应用问题中，被积函数甚至没有解析体现式，也许只是一条试验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似措施去计算对应的定积分。

试验目的：

本试验将重要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法，对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。

试验原理与数学模型：

1．?矩形法

根据定积分的定义，每一种积分和都可以看作是定积分的一种近似值，即

在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的成果，因此把这个近似计算措施称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不一样的取法，有三种措施：左点法、右点法、中点法，不一样的措施计算成果会有不一样。

2．?梯形法

等分区间

，

对应函数值为

（）．

各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，

，

即

，

称此式为梯形公式．

3．?抛物线法

此时称为抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．

4sum(a)：求数组a的和．

5formatlong：长格式，即屏幕显示15位有效数字．

（注：由于本试验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．

6double()：若输入的是字符则转化为对应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为对应的实型数值．

7quad()：抛物线法求数值积分．

格式：quad(fun,a,b)，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，因此使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.^等．

8trapz()：梯形法求数值积分．

格式：trapz(x,y)

其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相称于上面简介的函数fun）

9dblquad()：抛物线法求二重数值积分．

格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文献的句柄传递．

10fprintf（文献地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文献。

11subs(f，x，a)：将a的值赋给符号体现式f中的x，并计算出值．若简朴地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用也许的数值代入，并计算出值。

12syms变量1变量2…：定义变量为符号．

试验所用软件及版本：

Matlab

重要内容（要点）：

分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较成果的差异．

?试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为何？）

?学习fulu2sum.m的程序设计措施，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，防止for循环．

试验过程记录（含基本环节、重要程序清单及异常状况记录等）：

一、基本环节

措施一（梯形法）

formatlong

n=120;a=1;b=2;inum=0;

symsxfx

fx=1/x;

fori=1:n

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

fxj=subs(fx,x,xj);

fxi=subs(fx,x,xi);

inum=inum+(fxj+fxi)/2*(b-a)/n;

end

inum

x=1:1/120:2;

fx=1./x;

trapz(x,fx=1./x)

fprintf(Therelativeerrorbetweeninumandreal_valueisabout:%g\n\n,abs((inum-trapz(x,fx))/trapz(x,fx)))

措施二：（抛物线法）

formatlong

n=120;a=1;b=2;inum=0;

symsxfx

fx=1/x;

fori=1:n

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

xk=(xi+xj)/2;

fxj=subs(fx,x,xj);

fxi=subs(fx,x,xi);

fxk=subs(fx,x,xk);

inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);

end

inum

quad(1./x,1,2)

fprintf(Therelativeerrorbetweeninumand