专项08 相似三角形种8字型（2种类型）（原卷版）.pdfVIP

专项08相似三角形种8字型（2种类型）

基本模型：

【类型1：8字型】

【典例1】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井

口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点

E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．

【变式1-1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在

井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井

口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）

A．2米B．3米C．米D．米

【变式1-2】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长

为（）

A．7B．8C．9D．10

【变式1-3】如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（）

A．＝B．＝C．＝D．＝

【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：

ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（）

A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9

【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE

交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）

A．3：4B．9：16C．16：25D．3：5

【变式2-2】如图，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接

BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（）

A．4：1B．3：1C．4：3D．9：4

【典例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接

AC交BE于点F．

（1）求证：BC＝CD+ED；

（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．

【变式3-1】如图，在▱ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点

E．

（1）求证：△BCF∽△DEC．

（2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝．

【变式3-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC

于点F，交BC于点G．

（1）求证：；

（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．

【变式3-3】如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD

于点N，ON＝1．

（1）求证：△DMN∽△BCN；

（2）求BD的长；

（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．

【类型2：反8字型】

【典例4】已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，

且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．

（1）求证：；

（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．

【变式4-1】如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）

A．EF•BF＝DF•CFB．BE•CD＝BF•CF

C．AE•AB＝AD•ACD．AE•B