专项11 相似三角形-一线三等角模型综合应用（解析版）.pdfVIP

专项11相似三角形-一线三等角模型综合应用

E

AA

F

F

EAE

BCBCBC

D图1D图2D图3

1.如图1，∽（一线三等角）

BCEDFBDECFD

如图2，∽（一线三直角）

BCADEABDDCE

如图，特别地，当D中点时：BDE∽DFE∽ED平分

3BCCFD

BEF，FD平分。

EFC

2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直

角时，可构造“一线三等角”型相似。

【类型1：标准“K”型图】

【典例1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最

小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，

∴AB＝2BC＝12，

∴AC＝，

∵四边AFED是正方形，

∴∠F＝∠E＝90°，AF＝FE，

∴∠FAC+∠FCA＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠FCA+∠BCE＝90°，

∴∠FAC＝∠BCE，

∴△AFC∽△CEB，

∴，

∴，

设AF＝x，则CE＝，

∴FC＝，

222

∵AF+FC＝AC，

222

∴x+＝，

∴x2＝，

答：这个正方形的面积为：．

【变式1-1】如图，正方ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，

求正方ABCD的边长．

【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△BAE∽△CEF，

∴＝，

∵AB＝BC，

∴，

∴，

∴CE＝4，

∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，

∴正方ABCD的边长为6．

【变式1-2】如图，在正方ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交

AD的延长线于点E．

（1）求证：△ABM∽△MCF；

（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD