专项19 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型（解析版).pdfVIP

专项19锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型

已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和

直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。

1．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组

的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别

为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是m（≈

1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．

【答案】56.8

【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，

由题意得，设塔高CD＝xm，则BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣24）m，

在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，

则＝，即＝，

解得：x≈56.8．

答：古塔CD的高度约为56.8米．

2．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为

30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计

算结果保留根号）．

【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，

由题意得：

AB＝DE＝20m，

在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，

∴AE＝＝＝20（m），

在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，

∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），

∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，

∴信号塔的高度为（20+20）m

3．（2022•赛罕区校级一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且

CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得

楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）

【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡比为，

∴＝＝，

∴∠DCE＝30°，

在Rt△DCE中，DC＝4米，

∴DE＝DC＝2（米），

∴斜坡CD的高度DE为2米；

（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，

则DF＝AE，DE＝AF＝2米，

在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，

∴CE＝DC•cos30°＝4×＝2（米），

设BF＝x米，

∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，

在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，

∴DF＝＝x（米），

∴AE＝DF＝x米，

∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，

在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，

∴tan60°＝＝＝，

解得：x＝4+4，

经检验：x＝4+4是原方程的根，

∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，

∴大楼AB的高度为（4+6）米．

4．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角

是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°

时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m