专项25 二次函数与面积有关的问题（解析版）.pdfVIP

专项25二次函数与面积有关的问题

类型一：面积等量关系

类型二：面积平分

方法一：利用割补

将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上

或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

方法二：铅锤法

（1求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4根据C、D坐标求得铅垂高

1

（5S水平宽铅锤高

2

方法三：其他面积方法

如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图3，同高三角形的面积比等于底的比．

【类型一：面积等量关系】

2

【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在

B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，

连接CE，记△DCE的面积为S，△DBP的面积为S，当S＝S时，求点P的坐标；

1212

2

【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；

（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），

设点P（m，m2﹣3m﹣4），

则，，

∵S＝S+S，S＝S+S，S＝S，

△BCE1△BDE△BPE2△BDE12

∴S△BCE＝S△BPE，

∴，

解得：m1＝3，m2＝0（舍去），

∴P（3，﹣4）；

方法二：∵S＝S，

12

∴S△PBE＝S△CBE，

∴PC∥x轴，

∴点P与C关于对称轴x＝对称，

∴P（3，﹣4）；

2

【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax+x+c经过A

（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求a，c的值；

（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的

面积相等，求直线DE的解析式；

（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点

F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐

标；若不存在，请说明理由．

2

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax+x+c中得：

解得：；