用数值积分法计算地图面积-数学实验MATLAB.pdfVIP

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

《数学实验MATLAB》报告

题目：用数值积分法计算山东省

面积

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

一、问题背景与提出

图1山东省地图

图1是从百du地图中截取的山东省地图，试根据数值积分计算方法，

计算山东省面积。

二、实验目的

利用分段线性插值法与梯形公式结合，计算山东省的面积。

三、实验原理与数学模型

（1）分段线性插值法

原理：通过插值点用折线连接起来逼近f(x)

设已知节点a=x0x1…xn=b上的函数值为：y0,y1,…,yn

构造插值函数ψ(x)使其满足：1°ψ(xi)=y(i)(i=0,1,2,…,n)

2°在每个小区间[xi,x(i+1)]上，ψ(x)是

线性函数

则称ψ(x)是f(x)在[a,b]上的分段线性插值多项式。

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

图2分段线性插值

Matlab上有自带的插值函数interp1,基本语法为：

y=interp1(x,Y,xi)由已知点集(x,Y)插值计算xi上的函数值

（2）数值积分计算公式——梯形公式

原理：将积分区间[a,b]n等分，每个小区间宽度均为h=(b-a)/n,h称为积分

步长。记a=x0x1…xk…xn=b,每个小区间的左右端点求平均值，则每个

积分区间为小梯形，整个区间上的值为：

其中，h=(b-a)/n.如下图：

图3分割曲边梯形近似积分

Matlab上有自带的梯形公式计算函数trapz,基本语法为：

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

Q=trapz(X,Y)Y为积分变量数组，X为自变量数组，若X缺省则默认为间距

为1的等差数列。

四、实验内容（要点）

(1)将地图边界进行分段。因为运用插值法时自变量必须是单调函数，所以分成

若干部分进行积分，最后再对各部分进行加减。

(2)充分理解数值积分的应用条件，自己推导梯形公式的拟合方法。

(3)找数据点很麻烦，因为分段越多，拟合曲线越好，所以我用Ps软件进行分段

找点。

(4)画出各段曲线之后进行填充表示出山东省面积。

五、实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）

（一）基本步骤

1.原始数据的测量

图4割补和分段后的山东省地图

图4是山东省的地图，是用Photoshop将百度地图以1：5000000的比例

进行缩放，后以由西向东方向为x轴，由南向北方向为y轴，选择原点O.将阴

影区域补齐后，从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干

段，在每个分点的y方向测出北边界点和南边界点的y轴坐标y1,y2,这样就得

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。—