2024年高三数学重难点专题46两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题型汇总（解析版）.docx

重难点专题46两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1两点分布 1

题型2超几何分布 6

题型3二项分布 15

题型4正态分布 25

题型5超几何分布与二项分布 37

题型6超几何分布与正态分布 47

题型7二项分布与正态分布 57

题型1两点分布

两步法判断一个分布是否为两点分布

(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.

(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是

【例题1】（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=13，E

A．PX=1=

C．D3X+2

【答案】C

【分析】根据随机变量X服从两点分布推出PX=1=23，根据公式先计算出E

【详解】随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=

EX

DX

在A中，P(X=1)=

在B中，E(3X+2)=3

在C中，D3X+2

在D中，D(X)=2

故选：C.

【变式1-1】1.（2021·浙江杭州·浙江省杭州第二中学校考模拟预测）有3个人在一楼进入电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为ξ，则Eξ

【答案】37

【分析】设随机变量ξi=1,电梯在第i+1

【详解】由题意知：大楼共5层，

设随机变量ξi=1,

∵Pξi

则ξi

ξ

0

1

P

27

37

∴E

∴E

故答案为：3716

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.

【变式1-1】2.（2018·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量ξi满足Pξi=0=pi，Pξi

A．p1p2，且Dξ

C．p1p2，且Dξ

【答案】B

【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由Eξ1Eξ2可得

【详解】由题知变量ξ1，ξ2的分布列均为两点分布．变量ξ1

ξ

0

1

ξ

0

1

P

p

1-

P

p

1-

则Eξ1=1-p1，E

由Eξ1Eξ2?1-

函数y=x(1-x)

故选:B．

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差．本题的关键要识别出变量服从两点分布，运用相应数学期望和方差公式计算，其次运用二次函数的性质来比较大小，属于中档题.

【变式1-1】3.（2019上·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=1-p，P(ξ=1)=p

A．E(η)

C．D(η)

【答案】D

【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出Eξ,Dξ和EηD

【详解】随机变量ξ满足P(ξ=0)=1-p,P

则随机变量ξ的分布列为:

ξ

0

1

P

1-

p

所以Eξ

随机变量η=|

所以当ξ=0时,η=ξ-Eξ=

所以随机变量η=|ξ-E(ξ)|的分布列如下表所示(当p

η

p

1-

P

1-

p

则E

D

=

当Eξ=Eη即p=2p1-p,解得

D

=

=4p2

所以C错误,D正确

故选:D

【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题

【变式1-1】4.（2020·安徽·校联考二模）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k个k≤5一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+k次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X

（1）求X的分布列及其期望；

（2）（i）试说明，当p越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

（ii）当p=0.1时，求使该方案最合理时k的值及1000

【答案】（1）见解析，1-1-pk+1k（2）（i）见解析（

【解析】（1）由题意可得PX=1k=1-pk

（2）（i）由1记fp=1-1-pk+1k，根据函数的单调性即可证出；ii

【详解】（1）PX=1k=1-p

PX=1+

X

1

1+

P

1-

1-

E

2i由1记fp=1-

所以fp在p∈0,1

故p越小，fp

ii记g

当gk

因为g1=1.1,g2

所以k=4时平均检验次数最少，约为1000×0.594=

【点睛】本题