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太上有立德,其次有立功,其次有立言,虽久不废,此谓不朽。——《左传》
三次函数的再探索-对称中心问题
三次函数已经成为高中数学阶段一个重要的函数,在高考
和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题,而为二次函数,利
用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具,而三次函数的
对称中心(处),虽然不是高考的重点,但还是应该引起我们的重视。
一.三次函数必定存在对称中心吗?
结论:三次函数肯定存在对称中心。
证明:假设三次函数的对称中心为(M,N)。即证曲线上的任意一点,关于
的对称点必在曲线上。
因为
对比
由(1)有代入
(3)有
即
说明三次函数的对称中心不仅存在,而且是曲线上的某一个点,即
对称中心为
【例1】求的对称中心
解:令为的对称中心
1
太上有立德,其次有立功,其次有立言,虽久不废,此谓不朽。——《左传》
为曲线上任意一点,则也在
曲线上,即
整理得
对比
有
解得
所以,的对称中心为
二.三次函数对称中心的几何位置
问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性,其实三次函数对称中心在图象上还有它的独
特位置。
(4)
结论是可导函数,若的图象关于点对称,则图象
关于直线对称。
证明:的图象关于对称,则
由
2
太上有立德,其次有立功,其次有立言,虽久不废,此谓不朽。——《左传》
图象关于直线对称,说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。
图①图②
对照上述证明和①,②两图,不难发现A,B两处分别为的极大值,极小
值处,而从A到B的曲线是单调递减的,但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形
式(凹凸性)发生变化,即C为的拐点,而C的横坐标是恰
为的对称轴。
令,则,,这样由④得,所
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