2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期期中联考数学检测试卷（附解析）.docx

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期期中联考数学检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知为纯虚数，则（????）

A．3 B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（????）

A． B． C． D．

3．若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（????）

A． B．

C． D．

4．函数的单调递减区间为（????）

A． B． C． D．

5．6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点?远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（????）

A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.97

6．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（????）

A． B． C． D．

7．已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（????）

A．4 B．2 C． D．

8．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知直线和圆，则（????）

A．直线过定点

B．直线与圆有两个交点

C．存在直线与直线垂直

D．直线被圆截得的最短弦长为

10．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（????）

??

A．

B．平面

C．

D．点到平面的距离为

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（????）

A．的方程为

B．

C．的面积随周长变大而变大

D．直线和的斜率乘积为定值

三、填空题（本大题共3小题）

12．在中，内角的对边分别为，已知，则.

13．曲线的周长为.

14．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知函数.

(1)求的单调递减区间；

(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.

16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．

??

(1)证明：平面PCD；

(2)若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．

17．已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.

(1)求抛物线C和椭圆E的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.

18．已知椭圆的左?右焦点分别为，短轴长为2.

(1)求E的方程.

(2)若为上一点，求的取值范围.

(3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

19．在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.

(1)已知点和点，直线，求和.

(2)已知圆和圆.

①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；

②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明.

答案

1．【正确答案】B

【详解】依题意，，由是纯虚数，得，

所以.

故选B.

【思路导引】向量的数量积的求法：(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据向量数量积的运算律求解，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．

2．【正确答案】A

【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以.

故选：A．

3．【正确答案】C

【详解】由及，可得，

所以的斜率，

所以由点斜式方程得的方程为:

，即.

故选：C.

4．【正确答案】C

求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.

【详解】对于函数，，解得或.

所以，函数的定义域为，

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.

故选：C.

5．【正确答案】D

【详解】解析设该椭圆的半焦距为cc0，长半轴长为，

根据题意有，可得，，

所以离心率.

故选：D.

6．【正确答案】A

【详解】设的半焦距为，则，

根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为，

所以，所以的渐近线的斜率为.

故选：A.

7．【正确答案】D

【详解】设，将与联立，得，所以.

设，因为，所以

0，

解得，故点到坐标原点的