马尔科夫链最全讲义.pdf

递推⽅法计算概率与⼀维⻢尔科夫过程

⼀．基本原理

1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转

移概率.

2.⻢尔可夫链：若，即未来状态

只受当前状态的影响，与之前的⽆关.

3.完备事件组：如果样本空间中⼀组事件组符合下列两个条件：

（1）；

（2）.

则称是的⼀个完备事件组，也称是的⼀个分割.

4.全概率公式：设是⼀个完备事件组，则有

5.⼀维随机游⾛模型，即：设数轴上⼀个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位

于点，下⼀个时刻，它将以概率或者

（）向左或者向右平移⼀个单位.若记状态表示：在时刻该点位于

位置，那么由全概率公式可得：

另⼀⽅⾯，由于，代⼊上式可得：

.

进⼀步，我们假设在与处各有⼀个吸收壁，当点到达吸收壁时

被吸收，不再游⾛.于是，.随机游⾛模型是⼀个典型的⻢尔科夫过程.

进⼀步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移⼀个单位，其概率为，原地不动，其概

率为，向右平移⼀个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：

有了这样的理论分析，下⾯我们看全概率公式及以为随机游⾛模型在2019年全国1卷中的

应⽤.

⼆．典例分析

例．（新⾼考卷）甲、⼄两⼈投篮，每次由其中⼀⼈投篮，规则如下：若命中则此⼈

12023·1

继续投篮，若末命中则换为对⽅投篮．⽆论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，

0.6

⼄每次投篮的命中率均为．由抽签确定第次投篮的⼈选，第次投篮的⼈是甲、⼄的

0.811

概率各为．

0.5

（）求第次投篮的⼈是⼄的概率；

12

（）求第次投篮的⼈是甲的概率；

2

（）已知：若随机变量服从两点分布，且，则

3

．记前次（即从第次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

1

解析：（）记第次投篮的⼈是甲为事件，第次投篮的⼈是⼄为事件，

1“”“”

所以，

.

（）设，依题可知，，则

2

，

即，构造等⽐数列，设，

解得，则，⼜，所以是⾸项为，公⽐

为的等⽐数列，即．

（