高中数学 同步学案 分期付款问题中的有关计算.doc

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9．4分期付款问题中的有关计算

[读教材·填要点]

1．单利

单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为

利息＝本金×利率×存期．

若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和,则有S＝P(1＋nr)．

2．复利

把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S＝P(1＋r)n.

[小问题·大思维]

1．单利和复利分别对应什么函数类型？

[提示]单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型．

2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？

[提示]单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．

等差数列模型(单利问题)

用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？

[解]购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{an},则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；

a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；

a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；

…；

an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(万元)(n＝1,2,…,10)．

因而数列{an}是首项为4,公差为－eq\f(1,5)的等差数列．

a5＝4－eq\f(5－1,5)＝3.2(万元)．

S10＝10×4＋eq\f(10×?10－1?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(万元)．

31＋5＝36(万元),

因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．

按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚：

(1)规定多少时间内付清全部款额；

(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；

(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．

1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．

解：第1月存入的100元到12月底的利息为a1＝100×0.00165×12,

第2月存入的100元到12月底的利息为a2＝100×0.00165×11,…

第12月存入的100元到12月底的利息为a12＝100×0.00165,

全部利息和为S12＝a1＋a2＋…＋a12＝100×0.00165×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元),

按单利计息,到年底所取出的本利和为1212.87元.

等比数列模型(复利问题)

某人购买价值为10000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824＝1.2107)

[解]设每期付款为x元,

第1期付款x元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(1＋0.008)23,

第2期付款x元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(1＋0.008)22,

…

第24期付款x元,没有利息．

于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：

A＝x＋x(1＋0.008)＋x(1＋0.008)2＋…＋x(1＋0.008)23,

另一方面,这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B＝104×(1＋0.008)24,

∴x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00823)＝104×1.00824,

即x·eq\f(1.00824－1,1.008－1)＝104×1.00824,

∴x＝eq\f(104×1.00824·?1.008－1?,1.00824－1)≈460.

按复利计算分期付款问题的一般计算公式：

商品为a元,在m个月内分n次付清(n是m的约数),月利率为p,每期付款x元,则x[1＋(1＋p)＋(1＋p)＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)m,

∴x＝eq\f(a?1＋p?m[?1＋p?－1],?1＋p?m－1).

2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行,月息按复利计算,月利为0.2%,每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算,年利为6%,问三年