《医用高等数学》第4章 多元函数微分学 -教学课件（非AI生成）.ppt

推广第四章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分学一元函数、极限与连续一元函数的导数一元函数的极值4.1多元函数、极限与连续4.1.2二、邻域一、二元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数概念一、多元函数概念[定义1]设有三个变量x,y,z,如果变量x,y在允许的区域内任意取定一对值时，变量z按着一定的规律总有唯一确定的值与之对应，则变量z称为x,y的二元函数，记作其中x,y称为自变量，z称为因变量。z=f(x,y)引例:?圆柱体的体积二、邻域圆邻域：以一点P0(x0,y0)为圆心，长度为半径δ的圆形区域（不包括圆周），记作：4.1.3二元函数的极限与连续性定义2?设二元函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（在P0处可以无定义），如果P(x,y)沿任何路径无限趋于定点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A,则称A是函数当P(x,y)→P0(x0,y0)时的极限记作或其中这里ρ=|PP0|=对于该定义，应注意以下两点：1.即使当点P(x,y)沿着许多特殊的方式趋近于P0时，对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定2.当P沿着两条不同的曲线趋近于P0时，函数f(x,y)趋近于不同的值，可以断定极限不存在的存在。例7求解：=1/2[定义3]二元函数的连续则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,否则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处间断。存在2.3.1.在点P0(x0,y0)及其邻域内有定义；设函数z=f(x,y)满足条件：4.2偏导数与全微分4.2.1定义?设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),称其为函数在点(x0,y0)处对x的偏增量。定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)例9.求解法1:解法2:在点(1,1)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束4.2.2全微分4.2.1定义?设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而给x以增量Δx时，而给x以增量Δx时相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),称其为函数在点(x0,y0)处对x的偏增量。应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于?x,?y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即例12.计算函数的全微分.解:例13.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束定理1(充分条件)若函数的偏导数连续，则函数在该点可微分.4.2.3、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在