2024年高三数学重难点专题21 三角函数压轴小题十五大题型汇总（解析版）.docx

重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1新文化问题 1

题型2新定义问题 6

题型3黄金分割相关问题 9

题型4扇形相关问题 13

题型5三角函数公式相关问题 20

题型6三角函数性质问题 26

题型7识图问题 35

题型8凑角求值问题 43

题型9最值相关问题 47

题型10ω相关问题 53

题型11φ相关问题 58

题型12实际应用问题 61

题型13恒成立问题 68

题型14零点相关问题 74

题型15与数列相关问题 80

题型1新文化问题

【例题1】（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点Ax1,y1，Bx2,y2，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cosA,B，余弦距离为1-cosA,B.已知Pcosα

A．12 B．13 C．14

【答案】A

【分析】由题设得OP=(cosα,

【详解】由题意得OP

则cosP

又tanα

∴cosα

∴sinαsinβ

1-cos

故选：A

【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且10sinB+C22

??

【答案】π3/

【分析】根据三角恒等变化可得2cos2A

【详解】10sinB+

故51+cosA

可得cosA=12（负值舍），由

故答案为：π

【变式1-1】2.（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，O为锐角三角形ABC外接圆的圆心.若sin∠BAC=33

??

A．223 B．-223 C

【答案】D

【分析】由已知得2∠OBC=

【详解】已知∠BOC=2∠BAC，因为OB

因为∠OBC

所以2∠OBC+∠BOC

因为sin∠

所以cos

=2sin

故选：D.

【变式1-1】3.（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派在公元前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为a=2cos72°

【答案】12/

【分析】利用三角恒等变换化简即可求解.

【详解】acos

故答案为：12

【变式1-1】4.（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB=θ

A．tanθ2=

C．tanθ2=

【答案】C

【分析】根据直角三角形中的定义写出sinθ,cosθ，用

【详解】由已知∠COB=θ，则∠

又tanθ2=BHCH，sin

因此1-cos

故选：C．

【变式1-1】5.（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ0°θ90°的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tanα-β=1

A．1 B．23 C．52 D

【答案】A

【分析】由题意可得tanα=3，tan(α

【详解】由题意可得tanα=3，

所以tanβ

即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.

故选：A.

【变式1-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=14a2c2-a2+c2-b222，其中a、b、c分别为△ABC

A．3 B．5 C．2 D