高中数学人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

2.5.1直线与圆的位置关系

教学目标

1.理解直线与圆的三种位置关系，提升学生直观想象、数学抽象的学科素养.

2.能根据直线和圆的方程，用代数法和几何法来判断直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的学科素养.

3.通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式.

4.强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力.

教学重难点

教学重点：

1.理解直线与圆的三种位置关系。

2.掌握两种判断直线与圆位置关系的方法以及求弦长的方法.

教学难点：

利用方程组法判断直线与圆位置关系和学生能够灵活的运用“数形结合”解决直线与圆的位置关系.

课前准备

备教材：本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线与圆的位置关系.

它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用代数法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆与圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用.

备学情：在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系，前阶段又学习了直线方程和圆的方程.本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识、探究直线与圆的位置关系的判断方法.通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数学结合”的意识.

备教法：情景引入和回顾直线与圆的位置关系时使用多媒体辅助，由“形”到“数”，再由“数”到“形”，帮助学生经历“将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题”的过程，采取以教师引导、学生合作探究式为主的教学方式.本节课中我们采用类比迁移的方法，类比用直线方程判断位置关系并求交点的方法，结合直观演示、数形结合的教学手段进行教学.

教学过程

一、情境导学

动听的歌曲描绘了日出的绚丽景象。在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识，海天相接的地平线与太阳（即直线与圆）的位置关系。在初中，我们通过图形直观感知它们的位置关系有：相交、相切、相离.那么如何利用直线与圆的方程通过定量计算来判断直线与圆的位置关系呢?让我们带着问题走进今天的课堂.

【设计意图】：通过具体的情景，帮助学生回顾初中学习过的直线与圆的位置关系，同时提出运用方程思想解决问题的思路.使学生的思维从生活中走进数学，引发学生进一步的学习好奇心与探究意识.

二、探究发现，建构知识

问题1：在平面几何中，我们判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

d

d

d

d

d

l

l

l

师生活动：观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数来判断.

追问：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？

师生活动：记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.

知识梳理

位置关系

相交

相切

相离

直线与圆公共点个数

2

1

0

d与r的关系

d

d

d

【设计意图】:启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认识.这只是直观感知定性的描述.在本单元的学习中,我们已经能求直线和圆的方程,下面我们类比用直线方程研究两条直线位置关系的方法,利用直线和圆的方程,通过定量计算来研究直线与圆的位置关系.

问题2：类比两直线位置关系的研究方法，如何用直线与圆的方程，研究直线与圆的位置关系呢?

l1:3x+4y?2=0，

l1

3x+4y?2=0

x=?2,

A（-2，-2）

几何代数

几何代数

联立、解方程组

代数几何

l

l

l

【设计意图】:引导学生把代数法判断两直线位置关系的方法迁移到判断直线与圆的位置关系，得到解方程组的思路，突破本节课的难点.

追问：还有没有其他判断直线与圆的位置关系的方法呢？在平面直角坐标系下，用什么方法可以求出d与r？

【设计意图】：使学生经历“将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题”的过程，掌握如何由“形”到“数”.

三、知识应用

例1已知直线l：3x+y?6=0和圆心为

（1）判断直线l与圆C的位置关系；

（2）如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

思路1：将判断直线与圆的位置关系，转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题;若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.（代数法）.

解：联立直线与圆的方程3

消去y,得：x2

因为?0，方程有两