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第1章函数、极限与连续

教学过程

§1-1初等函数

一、基本初等函数

我们把幕函数。二无其祢咫、指数函数y=ac(ci0且awl)、对数函数y=logaM*0且awl)、

三角函数y=sinx,i/=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y二cscx和反三角函数y二arcsinx,i/=arccosx,

i/=arctanx,z/=arccotx统称为基本初等函数.很多时候也把多项式函数

y=c^iyi+an.iAJ1_1+...+aiX+czo看作基本初等函数.

二、复合函数

定义1如果y是a的函数y寸〃)，而〃又是x的函数u=p(x(),且(p(x)的值域与y寸〃)

的定义域的交非空，那么，y通过中间变量〃的联系成为无的函数，我们把这个函数称为是

由函数y寸〃)与〃=(p(x)复合而成的复合函数，记作y寸吹入)].

学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，

这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几

个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运

算所得到的函数.

例1已知y=lnu,但£,试把y表示为x的函数.

解y=lnu=ln^,xe(-8,0)d(0,+oc).

例2z/=u2,u=tanp,v=—,试把y表示为无的函数.

2

解y=u2=tan2L^tan2—.

2

复合函数的中间变量可以不限于一个.

例3函数y=es%是由哪些简单函数复合而成的？

解令u=sinx,则y=e〃，故y二eSi”是由y=cu,〃=sinx复合而成的.

例4函数ynai?(21nx+l)是由哪些初等函数复合而成的？

解令u=tan(21nx+l),贝Uy=ui；再令s21nx+l,贝！Ju=tanv.

故i/=tan3(21nx+l)是由y=u3,u=tanp,s21nx+1复合而成的.

三、初等函数

定义2由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用

一个式子表示的函数，称为初等函数.例如：

sin%[/rax+a~x

y=——；，y=loga(%+W+无),y=——-——

x+12

等都是初等函数.

例5分解y=*n(i+3%2).

解令“usinq+Bx2),得y=eu；再令匕1+3/，得u=sinv.

故y=eSm(l+3%)是由y=eu,u=sinv,匕1+3/复合而成的

定义3设b0,数集｛x||x-a|b,xeR｝，即实数轴上和a点的距离小于b

的点的全体,称为点a的b邻域,记作U(a,3)，点a与数b分别称为这邻域的中心和半径.有

时用U(a)表示点a的一个泛指的邻域.数集｛x|O|x-a|^,xGR｝，称为点的空心b邻

o

域，记作。(。»).

0

U(a,b)=(a-b,a+b),U(a,3)=(a—d,a)U(^,a+d).

小结

作业

§1—2极限

数列的极限

两个数列：

j_j_j_1⑴

2,4,8，，，*，27,

123n

⑵